8-klas-algebra-merzliak-2025

https://books.gymnasia.com.ua/qr/8a2mo3

Любі восьмикласники та восьмикласниці!

У цьому навчальному році ви продовжуватимете вивчати алгебру. Сподіваємося, що ви встигли полюбити цю важливу й красиву науку, а отже, з інтересом будете опановувати нові знання. Ми маємо надію, що цьому сприятиме підручник, який ви тримаєте в руках.

Ознайомтеся, будь ласка, з його структурою. Текст підручника поділено на три параграфи, кожний з яких складається з пунктів. У пунктах викладено теоретичний матеріал. Найважливіші відомості виділено жирним шрифтом, жирним курсивом і курсивом. Зазвичай виклад теоретичного матеріалу завершується прикладами розв’язування задач. Ці записи можна розглядати як один із можливих зразків оформлення розв’язання. До кожного пункту дібрано завдання для самостійного розв’язування, приступати до яких радимо лише після засвоєння теоретичного матеріалу. Серед завдань є як прості й середні за складністю вправи, так і важкі задачі (особливо ті, що позначено зірочкою (*)). Свої знання можна перевірити, розв’язуючи задачі в тестовій формі з рубрики «Перевірте себе». Після кожного завдання в тестовій формі розміщені добірки задач, які допоможуть вам у підготовці до тематичного оцінювання. У рубриці «Говоримо та пишемо українською правильно»

наведено приклади правильної математичної мови.

Кожний пункт завершується рубрикою «Учимося робити нестандартні кроки». До неї дібрано задачі, для розв’язування яких потрібні не спеціальні алгебраїчні знання, а лише здоровий глузд, винахідливість і кмітливість. Вони допоможуть вам навчитися приймати несподівані

Від авторів 4

Шановні колеги та колежанки!

Ми дуже сподіваємося, що цей підручник стане надійним помічником у вашій нелегкій та шляхетній праці, і будемо щиро раді, якщо він вам сподобається. У книжці дібрано великий і різноманітний дидактичний матеріал.

розв’язати неможливо, та в цьому й немає потреби. Разом з тим набагато зручніше працювати, коли є значний запас задач. Це дає можливість реалізувати принципи рівневої диференціації та індивідуального підходу в навчанні.

Вправи, позначені піктограмою , на ваш розсуд можна використовувати для роботи в парах або групах.

Підручник підтримано інтерактивним електронним додатком, перехід до частин якого забезпечують QR-коди біля заголовків відповідних пунктів, а також біля завдань «Перевірте себе» в тестовій формі» (два QR-коди на

варіанти підсумкових завдань). В електронному додатку є рубрика «Жива Алгебра», яка допомагає учням візуалізувати математичні поняття, такі як графіки функцій, геометричні фігури, алгебраїчні рівняння тощо. Вона дозволяє експериментувати з параметрами, бачити зміни в реальному часі та

розуміти складні теми. Це робить навчання

місця в підручнику позначено піктограмою .

Також в електронному додатку

діти за допомогою програми GeoGebra вчаться будувати графіки різноманітних функцій.

Поновити в пам’яті матеріал, вивчений минулого року, допоможе посилання на підручник для 7 класу в електронному вигляді: https://books.gymnasia.com.ua/qr/7dd3zh

або QR-код .

Бажаємо творчого натхнення та терпіння.

n°

Умовні позначення

завдання, що відповідають початковому та середньому рівням навчальних досягнень;

n • завдання, що відповідають достатньому рівню навчальних досягнень;

n •• завдання, що відповідають високому рівню навчальних досягнень;

n * задачі для математичних гуртків і факультативів;  закінчення доведення теореми, розв’язування прикладу;

запитання для самоперевірки; рубрика «Вправи»;

домашня практична робота;

завдання, які можна виконувати за допомогою комп’ютера;

вправи для роботи в парах або групах; рубрика «Вправи для повторення»;

рубрика «Готуємося до вивчення нової теми»; рубрика «Учимося

формі»;

ви ознайомитеся з дробами, чисельниками й знаменниками яких є вирази зі змінними; навчитеся додавати, віднімати, множити й ділити такі дроби; ознайомитеся з рівняннями, які складено за допомогою цих дробів.

Ви дізнаєтеся, за якими правилами можна замінити дане рівняння

на більш просте.

Розширите своє уявлення про поняття «степінь», навчитеся

Навчитеся

і 8 із підручника «Алгебра. 7

на с. 4.

вирази, що складені із чисел і змінних за допомогою дій додавання, віднімання, множення та ділення на відмінне від нуля число. Ось приклади цілих виразів: x – y, ab + 5 , m2 + 2m + n2 , 1 3 4 x , cd 47 + , x : 5, y

1. Раціональні

Наприклад, вираз 2 2 1 + + a a при a = 1 не має змісту, тобто числового значення цього виразу при a = 1 не існує. При всіх інших значеннях a цей вираз має зміст.

Наприклад, у розглянутому вище виразі допустимими значеннями для змінної a є всі числа, крім 1. Допустимими значеннями змінних, які входять до цілого виразу, є всі числа.

Окремим видом раціонального виразу є раціональний дріб. Це дріб, чисельником і знаменником якого є многочлени1. Так, раціональні вирази x 7 , xxy xy 22 + , 12 a , ab + 5 є прикладами раціональних дробів.

Зазначимо, що раціональний дріб може бути як цілим виразом, так і дробовим.

Знаменник раціонального дробу не може бути нульовим многочленом, тобто многочленом, який тотожно дорівнює нулю.

Допустимими значеннями змінних, що входять до раціонального дробу, є всі значення змінних, при яких значення знаменника дробу не дорівнює нулю.

Схема на рисунку 1 ілюструє зв’язок між поняттями, що розглядаються в цьому пункті. Ðàö³îíàëüí³âèðàçè

змінної, що входить до виразу 13 5 xx + . Розв’язання. Дріб 1 x має зміст при всіх значеннях x,

x = 0, а дріб 3 5 x має зміст при всіх значеннях x, крім x = 5. Отже, шуканими допустимими значеннями змінної є всі числа, відмінні від 0 і 5. ◄

1. Чим відрізняються дробові вирази від цілих? 2. Як разом називають цілі та дробові вирази? 3. Які значення змінних називають допустимими? 4. Які дроби називають раціональними? 5. Окремим випадком яких виразів є раціональні дроби? 6. Який

раціонального дробу?

ВПРАВИ 1.° Які з виразів

є: 1) цілими виразами; 2) дробовими виразами; 3) раціональними дробами? Обґрунтуйте ваші відповіді й обговоріть їх з однокласниками та однокласницями.

 2.° Чому дорівнює значення дробу cc c 24 21 + , якщо: 1) c = –3; 2) c = 0?

 3.° Знайдіть значення виразу 2 32 mn mn + , якщо: 1) m = –1, n = 1; 2) m = 4, n = –5.  4.° Чому дорівнює значення виразу: 1) a a 21 5 при a = –4; 2) x y y x + + 3 2 при x = –5, y = 6?

5.° Знайдіть допустимі

що входить до виразу: 1) 2x – 5; 2) 18 m ; 3) 9 5 x ;

4) x 5 9 ; 7) 5 24 x ; 10) x xx + 4 6() ; 5) 2 1 + + y y ; 8) 5 4 x ; 11) x x + 1 ;

6) 1 24 x + ; 9) 2 2 3 1 x x x −+ + ; 12) x xx 2 35 ()() . −+

1) 9 y ; 3) m m 1 29; 5) 4 8 1 1 xx + ;

2) x x + + 7 9 ; 4) x x 3 ; 6) 23 210 x xx+− ()() ?

7.• Придумайте раціональний дріб, який містить змінну x і має зміст при всіх значеннях x, крім: 1) x = 7; 2) x = –1; 3) x = 0 і x = 4. Порівняйте ваші вирази з виразами, приПорівняйте ваші вирази з виразами, придуманими однокласниками й однокласницями.

8.• Запишіть раціональний дріб, який містить змінну y, допустимими значеннями якої є: 1) усі числа, крім 5; 3) усі числа, крім 3, –3 і 6; 2) усі числа, крім –2 і 0; 4) усі числа.

9.• Автомобіль проїхав по шосе a км зі швидкістю 75 км/год і по ґрунтовій дорозі 20 км зі швидкістю b км/год. За який час автомобіль проїхав увесь шлях? Складіть вираз і знайдіть його значення при a = 150, b = 40.

10.• Учень придбав зошити по m грн, заплативши за них 24 грн, і по 14 грн, заплативши за них n грн. Скільки зошитів придбав учень? Складіть вираз і знайдіть його значення при m = 8, n = 56.

11.• Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної x значення дробу: 1) 1 2 x додатне; 2) x xx 2 2 1 69 + від’ємне.

12.• Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної x значення дробу: 1) + x x 2 25 недодатне; 2) xx xx 2 2 44 21 ++ −+ невід’ємне.

13.•• Відомо, що 5x – 15y = 1. Знайдіть значення виразу: 1) x – 3y; 2) 8 26xy ;

3) 186 9 yx ; 4) 1 2692 xxyy −+ .

14.•• Відомо, що 4a + 8b = 10. Знайдіть

виразу: 1) 2b + a;2) 5 2 ab + ; 3) aabb ab 22 44 24 ++ + . 15.

1) y x = 1 4 4; 2) y x x = 1 1.

16.

1) x x x 9; 2) 10 2 6 + x ?

20. Розкладіть на множники:

1) 6a – 15b; 5) a6 + a2; 2) 2a + ab; 6) 12m2n – 4mn; 3) 7am + 7bn; 7) 2x2 – 4x3 + 10x4; 4) 4x2 – 12xy; 8) 10a3b2 – 15a2b + 25ab2 .

21. Подайте у вигляді добутку вираз: 1) ab – ac + bd – cd; 3) a5 + a3 + 2a2 + 2; 2) 3m + 3n – mx – nx; 4) 8a2b – 2a2 – 4b2 + b.

22. Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:

1) a2 – 8a + 16; 3) 40xy + 16x2 + 25y2; 2) 9x2 + 6x + 1; 4) a8 – 4a4b + 4b2 .

23. Розкладіть на множники:

1) x2 – 9; 4) a2b2 – 81; 7) c3 – d3; 2) 25 – 4y2; 5) 100m6 – 1; 8) a3 + 8; 3) 36m2 – 49n2; 6) a10 – b6; 9) 27m6 – n9 .

24. Розкладіть на множники:

1) 7a2 – 7; 4) –8a5 + 8a3 – 2a; 2) 3b3 – 3b; 5) x – 4y + x2 – 16y2; 3) 2x3 – 2xy2; 6) ab6 – ab4 – b6 + b4 .

Радимо поновити у пам’яті зміст

«Алгебра. 7 клас» за посиланням або

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

значеннях a. При a = –1 раціональні дроби, які входять у дану рівність, не мають змісту.

Уточнимо прийняті в 7 класі означення тотожно рівних виразів і означення тотожності.

Означення : Вирази, відповідні

пустимих значеннях змінних, що в них входять, називають тотожно рівними.

Озн ачення : Рівність, яка виконується при будь-яких допустимих значеннях змінних, що в неї входять, називають тотожністю.

Наприклад, рівність a a = 2 2 1 є тотожністю, оскільки

виконується при всіх допустимих значеннях a, тобто

всіх a, крім a = 2. У 7 класі ми розглядали тотожні перетворення цілих виразів. Тепер розглянемо тотожні перетворення дробових

Як ви знаєте, основна властивість відношення виражається такою рівністю: a b am bm = , де a, b і m

властивості відношення:

ненульові.

2)

3)

y + 2, отримуємо:

1)

3)

даних дробів, а кожну зі змінних a і b узято в степені

2)

x x xx x

21 1 11 1 1 −+

()() , тобто y = x + 1, де x ≠ 1.

Отже, шуканим графіком є

прямої y = x + 1, за винятком однієї точки, абсциса якої дорівнює 1 (рис. 2). ◄

ПРИКЛАД 6. Для кожного

(a + 3)× ×(a – 3) x = a + 3 і розглянемо три

1) a = 3.

отримуємо

2) a = –3. У цьому випадку отримуємо рівняння 0x = 0, коренем якого є будь-яке число.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

3) a ≠ 3 і a ≠ –3.

Тоді x a aaa = = + +−− 3 33 1 ()()3 .

Відповідь: якщо a = 3, то рівняння не має коренів; якщо a = –3, то коренем є будь-яке число; якщо a ≠ 3 і a ≠ –3, то x a = 1 3 . ◄

1. Які вирази називають тотожно рівними? 2. Що називають тотожністю? 3. Сформулюйте

ного дробу.

29.° Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть отриманий дріб: 1) 6a : (18a5); 2) 16b7 : (48b4); 3) 35a8b6 : (–49a6b8).

30.° Скоротіть дріб: 1) 3 21 x y ; 3) 5 10 4 5 c c ; 5) 16 40 4 2 ab ab ; 7) 12 42 8 2 a a ; 2) 5 6 2 x x ; 4) 24 3

31.° Спростіть вираз: 1) a b ; 2) a b ; 3) a b ; 4) a b .

32.° Відновіть рівності: 1) a a a b ac 36915 4 3 23 ==== ; 2)

33.° Зведіть дріб:

1) a b3 до знаменника b5; 3) 6 72xy до знаменника 35x3y2;

2) m n9 до знаменника 27n4; 4) 5 65 k p до знаменника 24p9c.

34.° Зведіть дріб:

1) x y 2 до знаменника y8; 3) 9 42mn до знаменника 12m3n2 .

2) a b3 до знаменника 6b3;

35.° Скоротіть дріб:

1) ax bx () () ; + + 2 2 5) 721 515 xy xy ; 9) y y 225 102 + ;

2) 46 6 2 3 () () ; a a 6) 420 12 ab ab ; 10) aa a 244 918 ++ + ;

3) cc cc 35 63 4 4 () () ; 7) 612 6 x x + ; 11) cc c 2 2 69 9 −+ ; 4) 22 7 ab ab + + () ; 8) ab aab 5 25; 12) m mm 3 2 1 1 + −+ .

36.° Скоротіть дріб: 1) ab ba 2() ; 3) mmn nm 25 153 ; 5) x xx 2 23 25 5 ; 2) 36 42 xy yx ; 4) 7 7 43 43 aab bab ; 6) yy y 2 2 1236 36 −+ .

37.° Скоротіть дріб: 1) 33 77 mn mn ; 4) x x 249 642 + ; 7) bb bb 54 56; 2) 525 210 2 ab aab + + ; 5) 126 36 2 aa a ; 8) 777 1 2 3 mm m ++ ; 3) 416 16 xy y ; 6) 91 961 2 2 b bb++ ; 9) 64 324 2 2 x xx .

38.° Зведіть дріб: 1) a a + 2 до знаменника 4a + 8; 2) m mn 3 до знаменника m2 – 9n2;

3) x xy2 до знаменника 7y – 14x; 4) 5 23 b ab + до знаменника 4a2 + 12ab + 9b2; 5) x xx + ++ 1 21 до знаменника x3 – 1.

39.° Подайте вираз x – 5y у вигляді дробу зі знаменником: 1) 2; 2) x; 3) 4y3 .

40.° Зведіть дріб 6 4 b до знаменника:

1) 5b – 20; 2) 12 – 3b; 3) b2 – 4b; 4) b2 – 16.

41.° Подайте дані дроби у вигляді дробів з однаковими знаменниками:

1) 1 8ab і 1 23 a ; 4) 3d mn і 8 2 p mn () ; 2) 3 733 x mn і 4 324 y mn ; 5) x x 21 + і x x 32 ;

3) ab ab + і 2 22ab ; 6) ab ab + 33 і a ab22;

7) 3 44 a a і 2 55 a a ; 8) 7 3 a b і c b 92.

42.° Зведіть до спільного знаменника дроби:

1) 4 1522 xy і 1 103xy ; 4) x xxy + 1 2 і y xyy 1 2;

2) c ab 645 і d ab 92; 5) 6 2 a ab і 3a ab + ;

3) x y 5 і z y 225; 6) 1 16 2 2 + c c і c c 4 .

43.• Скоротіть дріб:

1) () ; 332 ab ab + + 2) () ; 618 9 2 22 xy xy 3) xyxy y +−− + 55 44 .

44.• Скоротіть дріб:

1) 272 424 22 2 mn mn + () ; 2) a abab 38 22−−+ ; 3) aabab aab 322 32 2 ++ .

45.• Знайдіть значення дробу, попередньо скоротивши його:

1) 1510 32 2 2 aab abb + + , якщо a = –2, b = 0,4;

2) 94 128 22 22 bc bcbc , якщо b = 1 3 , c = –6;

3) 3612 36 22 22 xxyy yx −+ , якщо x = 1,2, y = –3;

4) aa aa 86 98 + , якщо a = –0,1.

 46.• Знайдіть значення виразу:

1) 164 63 22 xy xy при x = 2,5, y = –2; 2) 499 49429 2 2 c cc++ при c = –4.

47.• Зведіть до спільного знаменника дроби:

1) 2 515 p p і 1 327 p ; 3) a aa 27 і a aa + −+ 3 21449;

2) 31 961 2 a aa + −+ і a a 2 912; 4) 2 21 x x , 3 221 x xx−+ і 4 221xx++ .

48.

49.

50.•• Відомо, що 2a – 6b = 1.

52.•• Чи існує таке

набуває від’ємного значення?

53.•• Побудуйте графік функції: 1) y x x = + 24 2 ;

54.•• Побудуйте графік функції: 1) y xx x = −+ 2816 4 ; 3) y xx x x x =− 22 2 322 1 . 2) yx x x =− ;

55.•• Побудуйте графік функції: 1) y x x = ; 2) y x x = 21 1 .

56.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) ax = 1; 3) (a – 6) x = a2 – 12a + 36; 2) ax = a; 4) (a2 – 4) x = a – 2.

57.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) (a + 3) x = 3; 2) (a2 – 9a) x = a2 – 18a + 81.

21 2. Основна властивість раціонального дробу

58. Щомісячний бюджет сім’ї Петренків формується із заробітної плати батька (24 600 грн) і матері (25 400 грн), підвищеної стипендії доньки (2910 грн) та пенсії дідуся (8690 грн). На оплату комунальних послуг витрачається 12 % загального бюджету, на харчування 34 %, на покупку непродовольчих товарів 22 %, на транспортні витрати 10 %. Решта грошей йде на оплату відпочинку, розваг, медичних послуг і заощадження. Скільки гривень залишається на останні перераховані статті сімейного бюджету?

Дізнайтеся, з яких витрат складається бюджет вашої родини, родин ваших родичів і знайомих. Проведіть дослідження та з’ясуйте, на які статті бюджету витрачається найбільше коштів. Радимо під час виконання цього проєкту об’єднатися з однокласниками й однокласницями в групи, щоб отримати та обробити якомога більше даних. ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

59. Спростіть вираз:

1) (x + 2) (x – 9) – 3x (3 – 2x);

2) (a + 5) (a – 2) + (a + 4) (a – 5);

3) (y – 8) (2y + 1) – (3y + 1) (y – 6); 4) (2x – 3y) (2x + 3y) + (3x + 2y) (3x – 2y);

5) (x + 1)2 – (x – 3) (x + 3); 6) (y – 4) (y + 3) – (y – 6)2.

 60. Побудуйте графік функції: 1) y = 2; 2) y = 2x; 3) y = 2x – 1.

61. Якого найменшого

якщо значення

натуральних значеннях n: 1, 3, 5, 15. Відповідь: n = 1, або n = 3, або n = 5, або n = 15. ◄

1. Як додати раціональні дроби з однаковими знаменниками? 2. Як відняти раціональні дроби з однаковими знаменниками?

63.° Виконайте дії: 1) xy 66 + ; 4) 62 c d c d ; 7) −+ ++ 5449 cd cd dc cd ; 2) ab 33 ; 5) mnmn +− 6 2 6 ; 8) 83 10 23 2102 m m m m ++ . 3) m n m n + 4 ; 6) 23 6 92 6 ab ab ba ab + ;

64.° Подайте у вигляді дробу вираз: 1) 7 18 4 18 k p k p ; 4) xy xy xy xy 74 ; 2) ab b a b22 ; 5) 106 11 6 3113 ab a ba a +− ;

3) −+ −+ab a ab a 12 27 15 27 ; 6) xxy xy xyx xy 2 2 2 2 23 + .

65.° Спростіть вираз: 1) a aa 2 3 9 3 ++ ; 4) 59 1 48 21 2 x x x x + + ; 2) t tt 22 16 4 16 ; 5) b b b b 2 10 20100 10 + + + + ; 3) m mm 2 522 25 5 ()() ; 6) c c c c 2 7 1449 7 .

66.° Спростіть вираз: 1) c cc 2 9 81 9 ; 3) 35 4 27 24 2 x x x x + + ; 2) a aa 2 622 36 6 ()() ; 4) y y y y 2 2 44 2 .

67.° Виконайте дії: 1) ab c a c + + 77 ; 4) 81 99 22b ba a ab + ; 2) 55 m mn n nm + ; 5) t tt 2 36 4 63 + ; 3) 24 3 414 3 xy xy xy yx ; 6) y y y y 2 1 12 1 .

68.° Спростіть вираз: 1) x yy + 1 2 1 ; 3) 32 23 8 32 mn mn mn nm + ; 2) 33 c cd d dc + ; 4) b b b 2 214 49 142 + .  69.• Знайдіть значення виразу: 1) a aa 248 8 16 8 при a = 32; 2) cc c c c 2 33 37 8 3 8 ++ + + при c = –3.

3. Додавання і віднімання

 70.• Знайдіть значення виразу: 1) 53 16 61 2162 x x x x + + при x = –4,1; 2) aa a a a 2 22 9 79 9 + при a = 7.

71.• Спростіть вираз: 1) 51 20 78 20 87 20 n n n n n n −−+ ; 2) 3 1 41 311 3 2 3 k k

72.• Спростіть вираз: 1) 61 168 47 168 22 816 a a a a a a ++ ; 2) 92 4 9 4 17 24 22 m m m m m m + −+ .

73.• Подайте у вигляді дробу вираз: 1) 158 1 147 212 a a a a ()() ; 3) mn mn mn mn 28 25 28 25 ()()()() . 2) 312 2 12 2 2 33 b b b b + + ()() ;

74.• Спростіть вираз: 1) xx x x x 2 44 16 7 249 7 + + ()() ; 2) yy yy

75.

• Доведіть тотожність: 1) ()() ; ab ab ab ab +− −= 22 44 1 2) ()() . ab ab ab ab + + + += 2 22 2 222

76.• Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної

вираз a a a a a a 2 444 6 2 74 2 36 2 + −+ ()()() набуває додатних значень.

77.• Доведіть, що при всіх допустимих значеннях змінної вираз 2 5 73 5 720 5 2 666 −+ b b b b b b ()()() набуває від’ємних значень.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

80.•• Відомо, що x y = 4. Знайдіть значення виразу:

1) y x ; 2) 23xy y ; 3) xy xy 22 + . Як ви думаєте, чи існує спосіб розв’язання цієї задачі, відмінний від вашого? Обговоріть з однокласниками й однокласницями способи розв’язання цієї задачі.

81.•• Відомо, що a b =−2. Знайдіть значення виразу: 1) ab a ; 2) 45ab b + ; 3) aabb ab 22 2 −+ .

82.•• Знайдіть усі натуральні значення n, при яких значення виразу є цілим числом: 1) n n + 6 ; 2) 3414 2 nn n ; 3) 47 23 n n + .

83.•• Знайдіть усі натуральні значення

виразу є цілим числом: 1) 89 n n ; 2) nn n 228 +− ; 3) 94 35 n n .

84. За 5 років, із 2019 по 2023 рр., українські школярки здобули на Європейських

серед дівчат (EGMO) 19 медалей. Кількість срібних медалей становить 220 % від кількості золотих, а кількість бронзових 60 % від кількості золотих медалей. Скільки золотих медалей здобули за цей період наші дівчата? Пропонуємо вам провести таке проєктне дослідження: зібрати інформацію про те,

(2012 р.). Побудуйте відповідні діаграми, скориставшись комп’ютерними програмами Excel, Word, Visio. Радимо створити групу з ваших однокласників і однокласниць для вивчення історії виступів наших дівчат.

85. Розв’яжіть рівняння: 1) 1 – 4 (x + 1) = 1,8 – 1,6x; 2) 3 (0,5x – 4) + 8,5x = 10x – 11.

86. Доведіть, що вираз (a + 4) (a – 8) + 4 (2a + 9) при всіх значеннях a набуває невід’ємних значень.

4. Додавання і віднімання раціональних

87. Замість зірочки запишіть такий одночлен, щоби справджувалася рівність: 1) abab 222 æ*; = 2) 510346 xyxy æ*; = 3) 612510 xx æ*. =

88. Замість зірочки запишіть такий многочлен, щоби справджувалася рівність: 1) *()()(); æ ababab −=+− 2 2) ()*. abaab +=− 1010032 æ

89. Зведіть до спільного знаменника дроби: 1)

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

Нагадаємо, щоб знайти спільний знаменник звичайних дробів, ми знаходили найменше спільне кратне знаменників, розкладаючи їх на прості множники. Аналогічно, щоб знайти спільний знаменник раціональних дробів, може виявитися зручним попередньо розкласти знаменники на множники.

ПРИКЛАД 1. Спростіть вираз: 1) b abc a ac +− + 11 2; 4) 2 2510 1 2315 a aaa −+− ; 2) m mn n mn7777 +− ; 5) x x x x + 4 2 2 . 3) 1014 49 6 27 n n n + + ; Розв’язання. 1) Спільним знаменником даних

є одночлен a2bc. Отже, a b b abc a ac ababab abc ab abc // . +−++−+ +=

2) Розклавши попередньо знаменники даних

3) Маємо:

Розв’язання. Подавши вираз

менником 1, отримуємо:

Зауважимо, що сума й різниця двох раціональних

є раціональними дробами.

1. Як виконати додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками? 2. Що є сумою та різницею двох раціональних дробів?

ВПРАВИ

91.° Виконайте дії:

1) xx 4 2 3 + ; 4) 43 xy ; 7) a bab24 1 + ;

2) 5 147 bb ; 5) m n m n46 + ; 8) 11 5 2 15 a c ab ; 3) mn 86 ; 6) c b d b3 ; 9) m abc c abm + .

92.° Подайте у вигляді дробу вираз: 1) xy 812 ; 3) m n n m ; 5) 7 cd k cp + ; 2) 4 74 aa + ; 4) x y y x 2 28 + ; 6) 6 35 9 14 52 a c b c .

93.° Спростіть вираз: 1) aa+− + 7 12 4 9 ; 6) x x y y +− 4 11 3 11 ; 2) 27 6 32 15 bcbc −+ ; 7) ab ab ac ac +− + ; 3) 3231 x x y y ; 8) k k k k +−434 2; 4) 6128 3 p p p p ++ ; 9) xy x yx xy 3 2 2; 5) 5 14 6 7 mn m mn m ; 10) cd cd cd cd +− 4 2 33 8 .

94.° Виконайте додавання або віднімання дробів: 1) 9575 b b c c ; 4) 6224 2 a ab a ab ++ ; 2) 47 7 6 6 d d d d +− ; 5) 11 3 2 5 x x x + ; 3) mn mn pn np ; 6) 11 ab abc ad acd .

95.° Виконайте дії: 1) 232 1 x x x + + ; 3) a aa−+ 3 3 3 ; 5) x y x y 2132 +− ; 2) m n m mn + ; 4) c c c c 3131 −+ ; 6) ab b ab ab + .

96.° Подайте у вигляді дробу вираз: 1) a ab a b + ; 2) 454 2 x x x + + ; 3) b bb−+ 2 2 2 .

97.° Спростіть вираз: 1) 11 babaab ()() ; 4) y y y y 2353 ()() ; ++ 2) 530 6 aaa + () ; 5) 53 21 74 31 m m m m + + + + ()() ; 3) 3 2 22 2 x x xx + () ; 6) ca aab cb bab + + + + ()() .

98.° Виконайте дії: 1) 11 aabbab ()() ; ++ + 3) x x x x 5767 ()() ; ++ 2) 48 2 bbb + () ; 4) 42 31 53 41 n n n n + + ()() .

99.• Виконайте додавання або віднімання дробів: 1) a a a a + 2 31 36 ; 4) d d d d + 1 284 ; 2) 18 3 6 2 bbb + ; 5) m m m m + 1 315 1 210 ; 3) 2 1 1 2 c c cc + + ; 6) 34 2 3 222 xy xxy yx xyy .

4. Додавання і віднімання раціональних

100.• Спростіть вираз:

1) 216 28 mmm + ; 3) ab aab b ab 22 2 22 + ++ + ; 2) a a a a 2 26 1 39 ; 4) b abb a aab + + 44 22.

101.• Виконайте дії: 1) 3 3 4 29 x x x + + + ; 3) 6 94 1 232 b bb ; 2) a a a a 2 2648; 4) m m m mm + ++ 51025 2 2.

102.• Спростіть вираз: 1) y y y y 2 2819 −+ ; 2) n n n nn −−+ 71449 2 2.

103.• Подайте у вигляді дробу вираз: 1) a b + 1; 3) m n n m ++ 2; 5) 6 121 2 2 m m m + ; 2) x y x; 4) 232 + ba a ; 6) 205 21 2 10 b b b + .

104.

• Виконайте дії: 1) a a 4 ; 3) m nn m 3 1 −+ ; 5) 392 3 2 n n n ; 2) 1 2 x x +− ; 4) 2 5 2k k k; 6) 5 412 2 y y .

105.• Спростіть вираз: 1) a aa a a 2 2 1 21 1 1 + −+ + + ; 5) a aa a a 22 44 4 4 −+ + ; 2) ab ab ab ab 22 22 + + ; 6) 2 5 5 5 2 25 2 2 p pp p p −+− −+ ; 3) c c c c + + 7 7 28 492; 7) 18 16 2 24 y y yy + ; 4) 53 26 63 29 2 a aa a a + + + ; 8) 21 42 4 41 21 236 b b b b b b +− + ++ .

106.• Спростіть вираз: 1) mn mn mn mn + + 22 22; 2) xy xy y xyxy+++ + 2 222;

вираз: 1) 1 22 2 −+ + a a a ; 3) c c c 29 3 3 + ; 2) ab ab ab 22 3 3 + +− ; 4) 8 43 2 21 m m m

Спростіть вираз і знайдіть його значення: 1) 7 24 12 4 3 22aaa −−+ , якщо a = 5; 2) mn mn mn mn 22 22 16 16 4 28 + + , якщо m = 3, n = 0,5.

111.• Знайдіть значення виразу: 1) 6 520 5 2816 x x xx−+ , якщо x = 5; 2) 21 2 2 21 1 242 y y y yyy , якщо y =−2 3 7 .

112.• Доведіть тотожність: 1) ab a a ab b aab + −+= 2 20; 2) a a a aaa + + + −+= 3 1 1 1 6 1 2 212; 3) 24 1 2 1 1 1 1 1 2 2 a a a a a aa + + + −−= .

113.• Знайдіть різницю дробів: 1) a aaa + −++ 1 1 1 321 ; 2)

114.

тотожність: 1) a aa a aa a a + +− ++= 3 3 3 39 12 9 3 232; 2) b a bb abbaa −−+− = 4 21 224 248 2 21 2 .

118.•• Доведіть тотожність 111 0 ()()()()()() . abacabbccacb + =

119.

Доведіть тотожність bc abac ac babc ab cacb ()()()()()() . + + = 1

120.* Спростіть вираз 1 12 1 23 1 34 ()()()()()() . aaaaaa + +

121.* Спростіть вираз 1 13 1 35 1 57 ()()()()()() . aaaaaa + +

124.*

зошит без додаткового розміну грошей? У разі ствердної

ЗАВДАННЯ № 1 «П ЕРЕВІРТЕ

Завдання 1–11 мають по чотири варіанти відповіді, з яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний варіант відповіді.

1. Який із наведених виразів є цілим? А) mn m + ; Б) mn + 7 ; В) mn m + 7 ; Г) m n m + 7 .

2. При якому значенні змінної

210 a a ? А) 0; Б) 10; В) 5; Г) 0; 5.

3. При яких

функція y x x = + 2 21

значена? А) –1; 1; Б) 1; В) –2; –1; 1; Г) –2; 1.

4. Скоротіть дріб 21 14 6 3 a a . А) 3 2 3 a ; Б) 3 2 2 a ; В) 3 23 a ; Г) 3 22 a .

5. Якому з наведених дробів тотожно дорівнює дріб 515 29 b b ? А) b 3 5 ; Б) b + 3 5 ; В) 5 3 b ; Г) 5 3 b + .

6. Виконайте віднімання: 5 2 10 2 x xx . А) x x + 2 2 ; Б) 510 2 x x + ; В) 5; Г) –5.

7. Виконайте додавання: 4 3 25 3 + m m m m . А) m m 1 3 ; Б) 13 3 m m ; В) 3; Г) –3.

8. Подайте у вигляді дробу вираз 3 6 2 3 n n n. А) 3 4 n n ; Б) 3 4 n n ; В) 18 6 n n ; Г) 18 6 n .

9.

позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

12. Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним йому виразом (А–Д). Вираз Тотожно рівний вираз

1) aba bb 3 32 2) aab ab 2 33 3) abb aab 3 3 2 2 А) b a Б) a b

2.

3.

4.

5.

1) m n ; 2) 9mn m . 6.

5. Множення і ділення раціональних дробів 39

За аналогічними правилами виконують множення і ділення раціональних дробів.

Добутком двох раціональних дробів є раціональний дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельників да них дробів, а знаменник — добутку їхніх знаменників.

Часткою двох раціональних дробів є раціональний дріб, чисельник якого дорівнює добутку чисельника ді леного та знаменника дільника, а знаменник — добутку знаменника діленого та чисельника дільника.

136.° Виконайте множення:

1) 322 a c a c æ ; 4) 3 162 86 m n n æ ; 7) 48 17 51 440 5 4 ab c bc a æ ;

2) 2 8 a b b a æ ; 5) 149 2 73 m n m æ ; 8) 21 13 39 28 3 22 c p p c æ . 3) x yz y x æ 4 5 ; 6) 15 10 4 12 6 2 a b b a æ ;

137.° Спростіть вираз: 1) a b b a 2 6 2 2 æ ; 3) a b a 2 2æ ; 5) 11 33 3 8 5 7 x y y x æ ; 2) 4 12 2 5 5 m k mk æ ; 4) 1512 2 54 x y x æ ; 6) 7 9 27 56 83 62 k mp m kp æ .

138.° Спростіть вираз:

1) ab bab3 3 æ ; 6) m m m m + 2 49 7 22 æ ; 2) 2 6 22 mnn m m n + æ ; 7) (); a a a + + 4 28 æ

3) 77 6 3 ab b b ab + + æ ; 8) x x xx x + + 9 48 2 9 2 æ ;

4) 32 9 3 28 a a a a æ ; 9) 441 33 1 21 2 aa a a a −+ + + æ ; 5) c c c cc + + −+ 1 6 6 221 æ ; 10) a a a aa 22 2 25 4 4 5 æ .

139.° Виконайте множення: 1) 3 43 ab c c ab + + æ ; 4) 18 16 4 23 b b b b + æ ; 2) abba b 2 84 4 æ ; 5) 6 9 223 mn mn æ(); 3) 55 6 3 xy x x xy æ ; 6) 39 961 31 23 c cc c c ++ + æ .

140.° Якому

частка 312 39 cc :?

1) c 3 4 ; 2) c 6 4 ; 3) 4c3; 4) 4c6 .

141.° Виконайте ділення:

1) 84 m n m n :; 4) 6 5 3 20 2 2 a b a b :; 7) 243 122 a a b :;

2) 3 8 b b :; 5) 918 5 4 3 a b a b :; 8) 36 3 42 a c ac :().

3) 72 3 c d c d :; 6) a a bc 2 2 :;

142.° Знайдіть частку:

1) 728 28 aa :; 3) 2736 672 mmn :; 5) 4942 21 m m n :;

2) bb93 848 :; 4) 610 8 3052 x y xy :(); 6)

143.° Спростіть вираз:

1) ab a ab b77 :; 5) a a a a 225 7 5 7 + + :;

2) xy x xy x 22 25 66−+ :; 6) aa a a 244 2 2 −+ + :();

3) c cc c c 5 4 5 2520:; 7) ():; pk pk p 22 16 4 + 4) xy xy xy xy :; 22 3 8) aab a aabb ab 2 2 22 2 −−+ :.

144.° Виконайте ділення: 1) 52 10 52 102 mn k mn k :; 4) a a a a 216 3 4 3 + :; 2) p pp p p + + 3 2 3 248:; 5) y y y yy−+ 9 8 81 1664 2 :2; 3) ab ab ab ab 22 2 −+ :; 6) ():. xy xy x 22497

145.° Виконайте піднесення до степеня: 1) a b 

9 ; 3)

149.• Замініть змінну x таким виразом, щоб утворилася тотожність:

1) 46 2 3 2 2 a b a b x    

= æ ; 2) 2 312 436 b c b x

= :.

150.• Виконайте множення і ділення дробів: 1) 4 8 12 316 5 2 a a a a æ ; 5) ab ab ab aabb 33 2222 77 + −+ æ ; 2) 422 24 22 2 cd ccd cd ccd + æ ; 6) x xy xy xx 2 2 955 3 + + æ ;

3) bb bb b b 2 2 693 39 27 515 −+ −+ + æ ; 7) a a aa a 3 4 2 2 8 16 24 4 + −+ + :; 4) aa ab ab a 3 2 162 3 12 416 + æ ; 8) xx x x x 22 1236 321 49 424 −+ + æ .

151.• Спростіть вираз: 1) 7 25 25 2 a a a a æ ; 4) aab b bab a 22 8 12 8 24 :;

2) ab ab ba ba 33 33 + + æ ; 5) a aa a a 4 23 1 1 1 1 −+ + :;

3) a aa a a 4 32 1 1 −+ æ ; 6) 4100 6 2 2 22050 x x xx−+ :().

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

 152.• Спростіть вираз і

1) a aa a a 2 22 81 8 9 64 :, якщо a = –4; 2) x xyxy44 1 2266 −+ :, якщо x = 4,2, y = –2,8; 3) ():, 31827239 4 aa a a −+ якщо a = 0,5.

 153.• Знайдіть значення виразу:

1) 1 222aab b ba :, якщо a = 2 1 3 , b =− 3 7 ; 2) aabb ab ab ab 22 22 44 9 36 26 ++ + :, якщо a = 4, b = –5.

154.•• Відомо, що x x −= 1 9.

Відомо, що

922 1 x x + . 156.•• Дано: x x 2 2 1641

1) Коли майстер працював продуктивніше: з 9:00 до 10:00 або з 15:00 до 16:00?

2) Як ви думаєте, чи була в майстра перерва на обід у цей день?

3) Скільки квадратних метрів плитки викладав майстер у середньому за одну годину цього дня?

Обговоріть ваші відповіді з однокласниками й однокласницями.

160. На графіку (рис. 5) подано дані деякого дослідження про середній зріст

1) Який середній зріст мають 20-річні дівчата?

2) У якому віці хлопці й дівчата мають однаковий серед-

3)

3) Як

4) Скільки

«читати» графіки змін значень деякої величини, а також набути досвіду, який дозволить коректно інтерпретувати інформацію, подану графічно (див. задачу 158). ВПРАВИ ДЛЯ

до того, як ми робили це, коли знаходили значення числового виразу, що містить кілька арифметичних дій. Виконуємо дії відповідно до порядку виконання арифметичних дій:

6. Тотожні перетворення раціональних виразів 49

Перетворення раціонального виразу можна виконувати не окремими діями, а «ланцюжком». Проілюструємо цей прийом на прикладі.

ПРИКЛАД 2. Доведіть, що при всіх допустимих значеннях

змінної значення виразу

від значення a. Розв’язання. Спростимо даний вираз:

Отже, при всіх допустимих

Розв’язання.

175.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

повернутися до Львова. Відстань від Львова до Олеського замку становить 15 41 довжини запланованого маршруту, між Олеським і Підгорецьким замками у 5 разів менша від відстані між Львовом і Олеським замком, між Підгорецьким і Золочівським замками на 3 км більша за відстань між Олеським і Підгорецьким замками, між Золочівським і Свірзьким замками у 3 рази більша за відстань між Підгорецьким і Золочівським замками, а відстань між Свірзьким замком і Львовом дорівнює 43 км. Скільки гривень має запланувати сім’я Петренків у бюджеті подорожі на покупку пального, якщо

зину їхньої автівки складають

до десятих. Пропонуємо вам

і однокласниць

6. Тотожні перетворення раціональних виразів 55

 183. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу 3232 22 nnnn ++−+− ділиться націло на 10.

184. На першому складі було буряку в 3 рази більше, ніж на другому. Коли з першого складу вивезли 400 кг буряку, то на ньому залишилося буряку у 2 рази менше, ніж було на другому. Скільки кілограмів

складі спочатку?

185. Куртка коштувала на 600 грн менше від костюма. Під час сезонного розпродажу куртка подешевшала на 10 %, а костюм на 20 %, після чого куртку та костюм мож %, після чого куртку та костюм мож%, після чого куртку та костюм можна було придбати за 3030 грн. Якою була початкова ціна куртки та якою ціна костюма?

186. З пункту A в пункт B автомобіль їхав зі швидкістю 60 км/год, а повертався з пункту B у пункт A зі швидкісзі швидкістю 70 км/год іншою дорогою, яка на 15 км коротша від першої. На зворотний шлях автомобіль витратив на 30 хв менше, ніж на шлях із пункту A у пункт B.

який час він доїхав із пункту A у пункт B? 187. (З українського фольклору.) За 30 монет купили 30 птахів. Скільки купили птахів

188. Розв’яжіть рівняння: 1) 27 4 5 3 xx++ = ; 4) x2 – 16 = 0; 2) x2 + 6x = 0; 5) 25x2 – 36 = 0; 3) 0,21x – 0,7x2 = 0; 6) x2 + 4 = 0.

189. При якому значенні

1) 6 39 x ; 3) x xx + + 4 3122; 5) x xx21025 −+ ; 2) x x 2 2 1 1 + ; 4) 8 7 4 2 xx+− + ; 6) x xx + +− 2 1012 ()() ?

190. При якому значенні змінної значення

нулю: 1) x 8 9 ; 2) x x + 2 2 ; 3) 4 5 x ?

191. На дошці написано многочлени x + 2 і 2x + 1. Дозволя1. ДозволяДозволяється записати суму, різницю або добуток будь-яких двох з уже написаних многочленів. Чи може на дошці з’явитися многочлен 2x3 + x + 5?

Перша жінка, яка отримала

докторський ступінь

Мало було в минулому жінок-учених, а ще менше математикинь. Шлях жінок до науки був дуже важким. Проте деякі з них уперто продовжували всупереч традиціям займатися самоосвітою, боротися за здійснення своїх мрій. Познайомимося з Еленою Лукрецією Корнаро Піскопія першою жінкою у світі, яка стала студенткою університету й отримала ступінь доктора філософії. Враховуючи обставини життя в XVII столітті й обмежені можливості жінок у ті часи, це досягнення вражає своєю величчю.

Елена народилася 5 червня 1646 року у Венеції в знатній родині Джанбаттісти Корнаро Піскопії. Завдяки своєму походженню і багатству Елена отримала чудову всебічну освіту.

Можливо, вона не досягла б великих успіхів, якби не мала дивовижних здібностей. Їй легко давалися іноземні мови, вона почала вивчати їх у віці семи років і заслужила звання Oraculum Septilingue (семимовний оракул). Крім рідної мови вона вільно говорила латиною, грецькою, арабською, французькою, іспанською та івритом. Пізніше вивчала математику, філософію, теологію. Також дівчина захоплювалася музикою: грала на арфі, клавесині, клавікорді, скрипці, писала музику. У віці 20 років захопилася фізикою,

57 Перша жінка, яка отримала докторський ступінь

поступки: Елені було дозволено претендувати на отримання докторського ступеня з філософії. Вона пройшла курс навчання в університеті, після чого 25 червня 1678 року предстала перед вченою радою в соборі Падуї. На іспиті були присутні представники університету, професори всіх факультетів, студенти, більшість сенаторів Венеції, а також багато гостей з університетів Болоньї, Перуджи, Рима і Неаполя. Жінка представила латиною дисертацію, присвячену непростим питанням, пов’язаним із працями Арістотеля. Її слухали з величезною увагою, і, коли вона закінчила, під оплески їй вручили всі атрибути: обручку, накидку з горностаєвого хутра і лавровий вінок, яким у давнину нагороджували поетів. Пізніше Елену було обрано членкинею багатьох європейських академій наук.

Наступні шість років Елена Корнаро присвятила науковій діяльності, викладанню математики в Падуанському університеті та благодійності, досягнувши в усіх цих сферах чималих успіхів.

Елена померла 26 липня 1684 року від туберкульозу і була похована в Падуї. У цьому місті на території університету на честь славетної жінки була встановлена статуя.

Завзятість, працьовитість, наполегливість, вміння досягати бажаної мети Елени Лукреції Корнаро Піскопія викликають повагу та захоплення і можуть слугувати зразком для всіх наступних поколінь.

1. Подайте у вигляді

2.

множення: (). ab ab + 58 25 22 æ

3.

3 b + .

4. Виконайте ділення: 56 8 1032 a b ab :(). А) 29 6 a b ; Б) b a 6 29; В) 210 3 b a ; Г) a b 3 210.

5. Спростіть вираз 39 2 3 248 x xx x x + + :. А) 12 x ; Б) x 12 ; В) 12; Г) x.

6. Подайте у вигляді

nn n nn nn 2 2 4 2 3 641 27 64161 ++ :. А) 81 8139 2 n nnn + −++ ()() ; В) 81 8139 2 n nnn+++ ()() ; Б) 81 8139 2 n nnn + −−+ ()() ; Г) 81 8139 2 n nnn+−+ ()() .

7.

8.

9.

1 2 ; Б) 2; В) 1 2 ; Г) –2.

– 5

= = 0,2 (2a + b)? А) 4; Б) –4; В) 3; Г) –3.

10. Відомо, що x x += 1 6. Знайдіть

виразу x x 2 2 1 + . А) 36; Б) 38; В) 34; Г) 35.

11. Спростіть вираз 1 1 2 2 a a b a ba + . А) ab ab 22 22 + ; В) ab abab 22 222 + () ; Б) ab ab 22 22 + ; Г) abab ab () . 22 22 + У завданні 12 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

12. Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним

1.

2.

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння 61

Означення: Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені або кожне з рівнянь не має коренів.

Число 2 є коренем кожного з рівнянь (x – 2) (x + 1) = 0 і x – 2 = 0. Проте ці рівняння не є рівносильними, оскільки перше рівняння має ще один корінь, що дорівнює –1, який

не є коренем другого рівняння. У 7 класі ви вивчили властивості рівнянь з однією змінною. Тепер, використовуючи поняття «рівносильні рівняння», ці властивості можна сформулювати так.

• Якщо до обох частин даного рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

• Якщо який небудь доданок перенести з однієї части ни рівняння в другу, змінивши при цьому його знак на протилежний, то отримаємо рівняння, рівно� сильне даному.

• Якщо обидві частини рівняння помножити (поділи ти) на одне й те саме відмінне від нуля число, то отримаємо рівняння, рівносильне даному.

Розглянемо таку задачу. Автомобіль, проїхавши 180 км шляху, збільшив швидкість на 10 км/год і решту 210 км проїхав за той самий час, що й першу частину шляху. Знайдіть

початкову швидкість автомобіля.

Нехай x км/год шукана швидкість. Тоді швидкість автомобіля на другій частині шляху дорівнює (x + 10) км/год.

Автомобіль подолав першу частину шляху за 180 x год, а дру-

гу за 210 10 x + год. Рівняння 180210 10 xx = + є математичною

моделлю розглянутої реальної ситуації. Обидві частини отриманого рівняння є раціональними виразами.

Озн ачення: Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним.

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

З означення випливає, що, розв’язуючи задачу, ми отримали раціональне рівняння.

Зауважимо, що лінійне рівняння з однією змінною, тобто рівняння виду ax = b, є раціональним.

Розглянемо раціональне рівняння виду A B = 0, де A і B

многочлени.

Ви знаєте, що дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний

нуля. Тому, щоб розв’язати рівняння виду A B = 0, треба

магати одночасного виконання двох умов: A = 0 і B

означає, що під час розв’язування рівнянь указаного

слід керуватися таким алгоритмом:

• розв’язати рівняння A = 0;

• перевірити, які зі знайдених коренів задовольняють умову B ≠ 0;

• корені, які задовольняють умову B ≠ 0, включити

відповіді.

ПРИКЛАД 1. Розв’яжіть рівняння ()() . xx xx −+ −+ = 11 2430

Розв’язання. Прирівняємо чисельник дробу, який стоїть

у лівій частині рівняння, до нуля. Маємо: (x – 1) (x + 1) = 0.

Коренями цього рівняння є числа –1 і 1. Перевіримо, чи задовольняють ці корені умову xx2430 −+≠ .

При x = –1 отримуємо, що xx24380 −+=≠ . При x = 1 отримуємо, що xx2430 −+= . Отже, число –1 є коренем заданого рівняння, а число 1 ні. Відповідь: –1. ◄

Як ми вже зазначали вище, розв’язування рівняння

A B = 0 зводиться до розв’язування рівняння A

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння 63 ()(), . xx xx −+= −+≠    110 2430

Як ми з’ясували, розв’язком цієї системи є число –1.

Завершимо розв’язування задачі про автомобіль. Маємо: 180210 10 xx = + .

Переходимо до рівносильного рівняння 180210 10 0 xx −= + .

Звідси 18010210 10 ()0 () ; x x xx +− + = 180030 10 0 + = x xx() .

Останнє рівняння рівносильне системі 1800300 100 −= +≠    x xx , ().

Коренем рівняння, яке входить до системи, є число 60;

очевидно, що воно задовольняє умову x (x + 10) ≠ 0. Відповідь: 60 км/год.

Як відомо, будь-який раціональний вираз можна подати у вигляді дробу. Тому будь-яке раціональне рівняння можна

звести до рівняння виду A B = 0. Саме так ми зробили, роз-

в’язуючи рівняння 180210 10 xx = + .

ПРИКЛАД 2. Розв’яжіть

Маємо:

ного дробу, отримаємо:

Отже, дане рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає. ◄

ПРИКЛАД

Розв’язання.

Отримане рівняння рівносильне системі

отримуємо:

Відповідь: –4. ◄

Розглянемо задачу, у якій раціональне рівняння є математичною моделлю реальної ситуації.

ПРИКЛАД 4. Туристка проплила на човні 3 км за течією річки та 2 км проти течії за 30 хв. Знайдіть швидкість човна в стоячій воді, якщо швидкість течії дорівнює 2 км/год. Розв’язання. Нехай швидкість човна в стоячій воді дорівнює x км/год. Тоді його швидкість

човна в стоячій воді дорівнює 10 км/год.

Відповідь: 10 км/год. ◄

1. Які два рівняння називають рівносильними? 2. За допомогою яких перетворень даного рівняння можна отримати рівняння, рівносильне даному? 3. Яке рівняння називають раціональним? 4. Сформулюйте умову, за якої дріб дорівнює нулю. 5. Опишіть алгоритм розв’язування рівняння виду A B = 0, де A і B — многочлени.

192.° Проведіть у класі обговорення, чи є рівносильними рівняння:

1) x + 2 = 10 і 3x = 24;

2) –2x = –6 і 1 3 1 x = ;

3) x – 5 = 0 і x (x – 5) = 0; 4) (3x – 12) (x + 2) = 0 і (0,4 – 0,1x) (7x + 14) = 0;

5) 60 x = і x2 = –4;

6) x + 1 = 1 + x і x x 2 2 1 1 1 + + = ? Обґрунтуйте ваші висновки.

193.° Складіть рівняння, рівносильне даному: 1) 2x – 3 = 4; 2) | x | = 1; 3) x + 6 = x – 2. Порівняйте ваші рівняння з тими, які склали однокласники й однокласниці.

194.° Чи є рівносильними рівняння та система: 1)

, ; 2) x x + = 5 3

195.° Запишіть систему, рівносильну рівнянню: 1) x x = 8 9 0; 2) x x + = 4 2160; 3) xx x 21025 7 0 ++ = .

196.° Розв’яжіть рівняння: 1) x x = 6 4 0; 8) 216 3 13 3 0 x x x x + + + −= ; 2) x x = 2 240; 9) 2 1 1 1 0 xx−+ += ; 3) x x 24 2 0 = ; 10) 3 2 4 3 xx−+ = ; 4) x x = 2 2 1; 11) x x = 6 2; 5) 218 9 2 22 x x + + = ; 12) x x x x + = 4 3 21 21 ; 6) x x x x += 5 29 5 0; 13) x xx + −= 86 2 0; 7) 57 1 5 1 0 x x x x + + −= ; 14) 2 5 15 25 2 20 x x xx x + −= .

197.° Розв’яжіть рівняння: 1) x xx 2 2 1 21 0 −+ = ; 5) 243150 x x x x x x −++ −+= ; 2) xx x 2 2 21 1 0 −+ = ; 6) x xxx ++ −= 6 36 260; 3) x x x x + −= 7 7 23 7 0; 7) 231 21 2 1 xx x x ++ + −= ; 4) 103 8 56 8 0 + + + += x x x x ; 8) 4 1 4 1 1 xx−+ −= .

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння 67

198.° Яке число треба відняти від чисельника та знаменника

дробу 15 19 , щоб отримати дріб, який дорівнює 2 3 ?

199.° Яке число треба додати до чисельника та знаменника

дробу 25 32 , щоб отримати дріб, який дорівнює 5 6 ?

200.• Складіть пару рівносильних рівнянь, кожне з яких: 1) має один корінь; 3) має безліч коренів; 2) має два корені; 4) не має коренів. Порівняйте ваші рівняння з тими, які склали однокласники й однокласниці.

201.• Розв’яжіть рівняння: 1)

202.• Розв’яжіть рівняння:

203.• Моторний човен проплив 8 км за течією річки й повернувся назад, витративши на

204.• Теплохід пройшов 28 км проти течії річки й повернувся назад,

205.

206.•• Розв’яжіть рівняння: 1) x xx x xx x x + + + −= 5 5 5 210 25 2250 22; 2) 912 64 1 4 1 3416 2 x xxxx + −−++ −= .

207.•• Розв’яжіть рівняння: 1) 424 545 3 515 3 23 22 y y y yy y yy + + + += ; 2) y yy y yy + ++ + −+ −= 2 81 1 42 3 38422.

208.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) x xa = 1 0; 4) ()() ; xax x = 6 7 0 2) xa x + = 5 0; 5) ()() ; xx xa −+ = 42 0 3) axa x ()

ренів?

210.* При яких значеннях a рівняння ()() xaxa x + = 3 9 0

7. Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння 69 місті на початок року, якщо приріст населення за цей час становив 3 %.

213. Доведіть, що при будь-яких значеннях змінних даний вираз набуває невід’ємного значення: 1) (a – 5)2 – 2 (a – 5) + 1; 2) (a – b) (a – b – 8) + 16.

214. Знайдіть значення функції f (x) = 3x – 7 при: 1) x = –3; 2) x = 2 1 3 . При якому значенні аргументу значення функції дорівнює 0,2?

215. Знайдіть значення виразу: 1) 43 + 34; 3) 9 2 9 2 æ

; 2) (–8)2 – (–1)12; 4) (,,). 28311 3 2 2 3

216. Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразів: 1) (–5,7)2 і 0 ; 3) (–23)5 і (–2)4; 2) 0 і (–6,9)3; 4) –88 і (–8)8.

217. Подайте у вигляді степеня:

1) з основою 2 числа 4; 8; 16; 32; 64; 2) з основою 10 числа 100; 1000; 10 000; 1 000 000.

218. Знайдіть значення виразу:

1) 18a2 , якщо a =− 1 6 ; 3) 6 + b4 , якщо b = –2; 2) (18a)2, якщо a =− 1 6 ; 4) (6 + b)4, якщо b = –2.

Радимо

но дорівнює 4 470 000 000 000 000 км, або 4471015 ,. æ км Маса Сонця дорівнює 1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 000 кг, або 1991030 ,. æ кг

були приклади з макросвіту, тобто світу

фізичних величин. Наведемо

Означення:

Означення:

Число n називають порядком числа,

у стандартному вигляді. Наприклад, порядок числа, яке виражає масу Сонця в кілограмах, дорівнює 30, а порядок числа, що виражає масу атома

У стандартному

число. Наприклад, 1712517125102 ,,;

,,. = æ Проте на практиці стандартний

1) 564 000

разом: бліцтурнір,

процесор, мінідиск, наносекунда, ультразвук.

ВПРАВИ

,

220.° Якому з виразів дорівнює вираз a–6: 1) –a6; 2) 1 6 a ; 3) 1 6 a ; 4) 1 6 a ?

221.° Подайте степінь у вигляді дробу: 1) 3–8; 3) a–9; 5) 12–1; 7) (a – b)–2; 2) 5–6; 4) d–3; 6) m–1; 8) (2x – 3y)–4.

222.° Замініть степінь дробом: 1) 14–4; 2) p–20; 3) (m + n)–1; 4) (4c – 5d)–10.

223.° Подайте дріб у

у

1) 1 72; 3) 1 c ; 5) a b ; 7) () () ; ab cd + 5 8 2) 1 5 x ; 4) m n 3; 6) x y 6 7; 8) () . xy xy + 2

224.

225.

226.

степеня одноцифрового натурального числа дріб: 1) 1 49 ; 2)

227.

10 число: 1) 0,1; 2) 0,01; 3) 0,0001; 4) 0,000001.

228.° Подайте числа 1, 3, 9, 27,

229.° Обчисліть: 1) 5–2; 3) (–9)–2; 5) 1–24; 7) (–1)–17; 9)

2) 2–4; 4) 0,2–3; 6) (–1)–16;

230.° Знайдіть значення виразу: 1) 20–2; 2) 0,3–1; 3) (–6)–3; 4) 4 7

1) 3–1 – 4–1; 4) 9011 æ ,; 2) 2–3 + 6–2; 5) 05421 ,; æ 3) 2 7 1

232.

1) 2–2 + 2–1; 3) 0,030 + 0,70; 2) 3–2 – 6–1; 4) ()? 9312311 æ

233.

1) 12104 æ ; 2) 12104 ,; æ 3) 012104 ,? æ

234.° Запишіть число у стандартному вигляді та вкажіть порядок числа:

1) 3400; 4) 0,000008; 7) 086103 ,; æ

2) 15; 5) 0,73; 8) 023104 ,; æ

3) 0,0046; 6) 250102 æ ; 9) 9300105 æ .

235.° Запишіть числові значення величин у стандартному вигляді:

1) швидкість світла у вакуумі дорівнює 300 000 км/с;

2) висота Говерли, найвищої гори України, дорівнює 2061 м; 3) площа України становить 603 700 км2;

4) відстань від Землі до Сонця становить 149,6 млн км;

5) атмосферний тиск на висоті 100 км становить 0,032 Па;

6) діаметр молекули води дорівнює 0,00000028 мм;

7) маса пташки колібрі дорівнює 0,0017 кг;

8) товщина плівки мильної бульбашки дорівнює 0,0000000006 м.

Зверніться за порадою до вчителів / вчительок хімії, фізики та біології, щоб розширити список величин, числові значення яких зручно записувати в стандартному вигляді.

236.° Запишіть число в стандартному вигляді та вкажіть порядок числа: 1) 45 000; 2) 260; 3) 0,00024; 4) 0,032; 5) 0059108 ,; æ 6) 526104 æ .

237.° Число подано в стандартному вигляді. Запишіть його у вигляді натурального числа або десяткового дробу: 1) 16103 ,; æ 2) 57106 ,; æ 3) 21102,; æ 4) 11105 ,. æ

238.° Число подано в стандартному вигляді. Запишіть його у вигляді натурального числа або десяткового дробу: 1) 24102 ,; æ 2) 48105 ,; æ 3) 14103,; æ 4) 86104 ,. æ

239.• Доведіть, що

242.

2) 4–1, 43, 40, 4–2.

243.

виразам, утворюють прізвище видатної італійської математикині, філософки і філантропки. Знайдіть в інтернеті інформацію про її життя, наукову та благодійну діяльність.

244.• Порівняйте значення виразів: 1) 120 і (–6)0 ;

245.• Порівняйте значення виразів:

1) 3–2 і (–3)0; 2) 3–1 + 2–1 і 5–1; 3)

1) ab–1 + a–1b; 4) ()(); abab ++111 æ 2) 3a–1 + ab–2; 5) ():(); cdcd −+22 3) m2n2 (m–3 – n–3); 6) (). xyxy

247.• Подайте у вигляді дробу вираз: 1) a–2 + a–3; 3) ()(); cdcd112 æ 2) mn–4 + m–4n; 4) ()(). xyxy ++ 22221 æ

8. Степінь із цілим від’ємним показником 77

248.• Наносекунда це одна мільярдна доля секунди. Мікропроцесору персонального комп’ютера потрібно в середньому 3 наносекунди, щоб виконати одну команду. Виразіть цю величину в секундах і запишіть відповідь у стандартному вигляді.

249.• Порядок деякого натурального числа дорівнює 4. Скільки цифр містить десятковий запис цього числа?

250.• Десятковий запис деякого натурального числа складається із семи цифр. Чому дорівнює порядок цього числа?

251.• Яке число більше: 1) 971011 , æ або 121012 ,; æ 3) 234106 , æ або 023107 ,; æ 2) 36105 , æ або 48106,; æ 4) 427109 , æ або 0072107,? æ

252.• Яке число менше: 1) 611019 , æ або 6151018 ,; æ 2) 15109 , æ або 09108,? æ

1)Яка

2)Яка

 254.• У таблиці наведено

елементів.

Елемент Маса атома, кг Елемент Маса атома, кг

Нітроґен 2321026 , æ Аурум 3271025 , æ

Алюміній 4481026 , æ Купрум 1051025 , æ

Гідроґен 1661027 , æ

3811026 , æ

Гелій 6641027 , æ Станум 1971025 , æ

Ферум 9281026 , æ Уран 3951025 , æ

1)Маса атома якого з наведених елементів найменша, а якого найбільша?

2)Маса атома якого з елементів, Купруму чи Натрію, більша?

3)Складіть таблицю, упорядкувавши елементи в порядку зменшення маси їхніх атомів.

11109 , æ

13106 ,

Запаси, т

68107 , æ

256. Маса чавунної болванки 16 кг. Яка найменша кількість болванок потрібна, щоб відлити 41 деталь масою 12 кг кожна?

 257. У деякому місті на сьогоднішній день проживає 88 200 осіб. Скільки мешканців і мешканок проживало в цьому місті 2 роки тому, якщо щорічний приріст населення становив 5 %?

258. Дмитро ходить з дому до стадіону пішки зі швидкістю 4 км/год. Якщо він поїде до стадіону на велосипеді зі швидкістю 12 км/год, то приїде до нього на 20 хв раніше, ніж зазвичай. На якій відстані

розташований стадіон?

259. Спростіть вираз

260. Чи можна стверджувати, що при будь-якому натуральному n значення виразу (5n + 6,5)2 – (2n + 0,5)2 кратне 42?

261. Подайте у вигляді степеня

ведемо її. Для натуральних m

в курсі алгебри 7 класу.

Розглянемо тепер випадок, коли m і n цілі від’ємні числа.

Якщо m і n цілі від’ємні числа, то –m і –n натуральні числа.

Щоб завершити доведення основної властивості степеня, треба також розглянути такі випадки: один із показників степеня m або n від’ємний, а другий

один або обидва показники дорівнюють нулю. Розгляньте ці випадки самостійно.

Рівності (2) і (3) доводять аналогічно.

За допомогою властивості (1) доведемо таку теорему.

Теорема 9.3:

Доведення. Маємо:

За допомогою властивостей (2) і (3) доведемо таку теорему.

Теорема 9.4:

Доведення. Маємо:

Властивості (1)–(5) називають властивостями степеня із цілим показником

2) Використовуючи

3)

265.° Подайте вираз у вигляді степеня з основою a або добутку степенів з різними основами:

1) aa 69 æ ; 7) aaa 12209 æ :;

2) aa 58 æ ; 8) (a–5)4; 3) aaa 51012 ææ ; 9) (a–6)–8;

4) a–2 : a6; 10) ()():(); aaa 243283 æ

5) a7 : a–3; 11) (a4b–2c3)–10;

6) a–3 : a–15; 12) ab cd 107 614 2

.

266.° Розшифруйте прізвище видатної сучасної української математикині, професорки, докторки фізико-математичних наук, керівниці наукової школи «Змішані задачі математичної фізики». Номер прикладу відповідає

на якому стоїть буква у слові.

1) aa 812 æ ;

2) aa 410 æ ;

3) aa 610:;

4) aa 58:;

5) (); a 62

6) aaa 15711 æ :;

7) aaa 105::;

8) ()(); aa 3645 æ

9) ():()(). aaa 83101132 æ

267.° Знайдіть

1) 9957 æ ; 4) 22291222 æ :; 7) 33

2) 1010812 æ ; 5) ()(); 171741268 æ 8) 14 7 5 5.

3) 3–18 : 3–21; 6) 66 66 534 723 æ æ () () ;

268.° Знайдіть значення виразу: 1) 6696 æ ; 3) 555 763:; æ 5) 081 4 4 1 4 ,;

æ 2) 7–16 : 7–18; 4) 44 4 753 37 æ() () ; 6) 11 22 2 2.

269.° Спростіть вираз: 1) 3434 aa æ ; 4) mnmn 22 æ ; 7) (c–6d2)–7; 2) 10 15 4 5 b b ; 5) abcabc 11 æ ; 8) 1 3 6 7 3674 abab æ ; 3) (2c–6)4; 6) kp kp 6 44; 9) 02153525 ,,. cdcd æ

270.° Спростіть вираз:

1) 235225abab æ ; 3) 36 09 2 33 , , ; ab ab 2) 1 2 3 2 mn    

; 4) 08568108 ,. abab æ

271.• Знайдіть значення виразу: 1) 8237 æ ; 5) 25–4 : (0,2–3)–2 ;

2) 27–2 : 9–4; 6) () () ; 366 2166 38 518 æ æ 3) 1001000001 256 :,; æ 7) 6 8116 10 23 æ ; 4) 2 1 4 2 3 433

æ ; 8) 142 287 57 28 æ æ .

272.• Знайдіть значення виразу:

1) 92742 æ ; 2) 32–5 : 64–4; 3) 27 9 3 5 735

æ ;

4) 8–2 : 0,54; 5) 222 4411 68 39 æ æ ; 6) 1015 30 24 6 æ .

273.

1)

2)

8242

3) 18 7 15 622 6 pkk

4) 24243353 ,(); abac æ 8) 7 5 3 1 2 4964 p

1) 25 5 3 4 4 7 x y y x æ ;

2) 2823212cdcd æ(); 5)

3) 36384372 ,(); abab æ

275.• Винесіть за дужки степінь з основою a та найменшим із даних показників: 1) a3 – 2a4; 2) a–3 – 2a–4; 3) a3 – 2a–4 .

276.• Винесіть за дужки степінь з основою b і найменшим із даних показників: 1) b3 + 3b2; 2) b–3 + 3b–2; 3) b–3 + 3b2 .

277.• Подайте у вигляді добутку вираз: 1) a–2 – 4; 4) a–3 + b–3; 2) a–4b–6 – 1; 5) m–4 – 6m–2p–1 + 9p–2; 3) 25x–8y–12 – z–2; 6) a–8 – 49a–2 .

278.• Подайте у вигляді добутку вираз: 1) x–4 – 25; 3) a–10 + 8a–5b–7 + 16b–14; 2) m–6 – 8n–3; 4) a–4 – a–2 .

279.• Доведіть тотожність a–8 – b–8 = (a–1 – b–1) (a–1 + b–1) (a–2 + b–2) (a–4 + b–4).

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ

280.• Спростіть вираз: 1) (a–4 + 3) (a–4 – 3) – (a–4 + 2)2 ; 2) mn mn + 22 11; 3) 2 33 22 211 1 11 xy xxy x xy + ; 4) ab a aba a + + 55 6 358 :4.

281.• Спростіть вираз: 1) (x–2 – 1)2 – (x–2 – 4) (x–2 + 4); 2) aabb ab −+ 2112 11 1025 5 ; 3) 5 44 22 312 1 22 mn mmn m mn + + + ; 4) bc c bc bcbc + + 11 22112 3 3 æ .

282.• Порядок числа a дорівнює –4. Визначте порядок числа: 1) 10a; 3) 100a; 5) 10 000a; 2) 0,1a; 4) 0,001a; 6) 1 000 000a.

283.• Порядок числа b дорівнює 3. Визначте порядок числа: 1) 10b; 2) 0,01b; 3) 0,0001b; 4) 1000b.

284.• У сучасних смартфонах використовують процесори, у яких на площі 1 мм2 розташовано 125 млн транзисторів. Скільки квадратних сантиметрів становить площа, яку займає один транзистор? Відповідь запишіть у стандартному вигляді. 285.• У цифрових фотоапаратах роль фотоплівки відіграє матриця, яка складається зі світлочутливих елементів пікселів. Фотоапарат має матрицю розміром 864 мм2, на якій розмістилося 50 320 896 пікселів. Скільки квадрат-



9. Властивості степеня із цілим показником 87

287.• Виконайте обчислення та запишіть результат у стандартному вигляді:

1) (,)(); 1610410 57 æææ 3) 710 1410 4 6 æ æ , ; 2) ()(,); 510181031 æææ 4) 6410 810 3 2 , . æ æ

288.• Відстань від Землі до Сонця дорівнює 15108 , æ км, а швидкість світла 3108 æ м/с. За скільки хвилин світло від Сонця досягне Землі? Відповідь округліть до одиниць.

289.• Густина міді дорівнює 89103 , æ кг/м3. Знайдіть масу мідної плитки, довжина якої 25101 , æ м, ширина 12 см, а висота 0,02 м.

290. • Маса Землі дор івнює 61024 æ кг, а маса Міс яця 741022 , æ кг. У скільки разів маса Місяця менша від маси Землі? Відповідь округліть до одиниць.

291.•• Спростіть вираз і запишіть результат у вигляді

294.•• Порядок числа m дорівнює 2, а порядок числа n дорівнює 4. Яким може бути порядок значення виразу: 1) mn; 2) 0,01mn; 3) 100m + n; 4) 0,01m + n? ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

295. (З болгарського фольклору.) П’ятеро братів хотіли поділити 20 овець так, щоб

кількість овець. Чи можливо це?

296. Якщо лижниця рухатиметься зі швидкістю 10 км/год, то дістанеться до пункту призначення на 1 год пізніше за запланований час прибуття, а якщо рухатиметься зі швидкістю 15 км/год то на 1 год раніше.

298.

303. Розв’яжіть графічно систему рівнянь 1) 23 37 xy

Радимо поновити у пам’яті зміст пп. 20–23, 26 із підручника «Алгебра. 7 клас» за посиланням або QR-кодом на с. 4.

304. Після закінчення тенісного турніру, який проводили за олімпійською системою (ті, хто програли, вибувають), виявилося, що тільки 32 учасниці виграли зустрічей більше, ніж програли. Скільки тенісисток брало участь у турнірі?

У курсі математики 6 класу ви ознайомилися з функціональною залежністю, за якої зі збільшенням (зменшенням) однієї величини в кілька разів друга величина зменшується (збільшується) в таку саму кількість разів. Таку залежність називають оберненою пропорційністю. Розглянемо два приклади.

ПРИКЛАД 1. Нехай є 500 грн. Позначимо через x грн ціну 1 кг товару, а через y кг кількість цього товару, яку можна придбати за 500 грн. Залежність змінної y від змінної x є оберненою пропорційністю: збільшення ціни x у кілька разів приводить до зменшення кількості товару y у стільки ж разів, і навпаки, зменшення ціни спричиняє збільшення кількості купленого товару. Цій функціональній залежності відповідає функція, задана формулою y x = 500 . ◄

ПРИКЛАД 2. Розглянемо прямокутник, площа якого дорівнює 18 см2, а сторони x см і y см. Тоді y x = 18 .

Збільшення (зменшення) знаменника x у кілька разів спричиняє зменшення (збільшення) величини y у стільки ж разів, тобто залежність змінної y від змінної x є оберненою пропорційністю. ◄

функцію y x = 6 .

91 10. Функція y k x = .та її

Чим більше точок, координати яких задовольняють рівняння y x = 6 , нам удасться позначити, тим менше отримана

фігура (рис. 8) відрізнятиметься від графіка функції y x = 6 .

Серед позначених точок не може бути точки, абсциса якої дорівнює нулю, оскільки число 0 не належить області визна-

чення даної функції. Тому графік функції y x = 6 не має

спільних точок з віссю ординат. Крім того, цей графік не має спільних точок і з віссю абсцис, тобто точок, ординати яких дорівнюють нулю. Справді, рівняння 60 x = не має розв’язків. Отже, число 0 не належить області значень даної функції.

Якщо x > 0, то 60 x > , тобто y > 0; якщо x < 0, то y < 0.

Отже, точки графіка даної функції можуть розміщуватися тільки в I і ІІІ координатних чвертях. Зауважимо, що зі збільшенням модуля абсциси відстані

від точок графіка функції y x = 6 до осі абсцис зменшуються

та можуть стати як завгодно малими, але ніколи не дорівнюватимуть нулю. Справді, чим більший модуль аргументу, тим менший модуль відповідного значення функції.

Аналогічно можна встановити, що зі зменшенням модуля абсциси відстані від точок графіка до осі ординат зменшуються та можуть стати як завгодно малими, проте ніколи не дорівнюватимуть нулю.

Якби вдалося позначити на координатній площині всі

точки, координати яких задовольняють рівняння y x = 6 , то ми отримали б фігуру, зображену

0 1 1 x y 6 y x = 0 1 1 x y 6 y x =−

Рис. 9 Рис. 10

такий висновок: якщо точка A (x0; y0) належить гіперболі y k x = , то точка B (–x0; –y0) також належить цій гіперболі.

Якщо k > 0, то вітки гіперболи розміщені в I і ІІІ чвертях, а якщо k < 0 то в ІІ і ІV чвертях.

На рисунку 10 зображено графік функції y x =− 6 . Вітки

гіперболи y x =− 6 розміщені

і ІV чвертях.

Зауважимо, що областю значень функції y k x = , де k ≠ 0,

є всі числа, крім 0.

93 10. Функція y k x = .та її графік

Властивість графіка Якщо точка A (x0; y0) належить гіперболі y k x = , то точка B (–x0; –y0) також належить цій гіперболі.

Покажемо, як графік функції y k x = можна використову-

вати під час розв’язування рівнянь.

ПРИКЛАД 3. Розв’яжіть рівняння 4 3 x x =+ .

Розв’язання. Розглянемо функції y x = 4 і y = x + 3. По-

будуємо в одній системі координат графіки цих функцій (рис. 11). Вони перетинаються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 1 і –4. У кожній із точок

§ 1. РАЦІОНАЛЬНІ ВИРАЗИ

Описаний метод розв’язування рівнянь називають графічним. У 7 класі ви ознайомилися з графічним методом розв’язування систем рівнянь і знаєте, що цей метод не завжди дає точні результати. Тому перевірка знайдених коренів є обов’язковим етапом розв’язування рівняння. У подальшому (п. 22) ви навчитеся розв’язувати такі рівняння, не використовуючи графічний метод.

1. Поясніть, яку залежність між величинами називають оберненою пропорційністю. 2. Яку функцію називають оберненою

пропорційністю? 3. Що є областю визначення функції y k x = ,

де k ≠ 0? 4. Як називають фігуру, що є графіком оберненої пропорційності? 5. Як називають частини, з яких складається гіпербола? 6. Що є

функції y k x = , де k ≠ 0?

7. У яких координатних чвертях розміщений

y k x = , якщо k > 0? якщо k < 0? 8. Поясніть, у чому полягає графічний метод розв’язування рівнянь.

ВПРАВИ

305.° Автомобіль проїжджає деяку відстань за 10 год. За який час він проїде цю саму відстань, якщо його швидкість: 1) збільшиться у 2 рази; 2) зменшиться в 1,2 раза?

306.° Довжина прямокутника дорівнює 30 см. Якою стане його довжина, якщо при тій самій площі ширину прямокутника: 1) збільшити в 1,5 раза; 2) зменшити в 3,2 раза?

307.° За деяку суму грошей купили 40 м тканини. Скільки метрів тканини купили б за ту саму суму грошей, якби ціна за 1 м: 1) зменшилась у 2,6 раза; 2) збільшилася в 1,6 раза?  308.° Туристка пройшла 12 км. Заповніть таблицю, у першому рядку якої вказано швидкість, а в другому час руху. v, км/год 5 2,4 t, год 3 3 1 3 Задайте формулою залежність t

95 10. Функція y k x = .та її графік

 309.° Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 48 см3. Заповніть таблицю, у першому рядку якої вказано площу його основи, а в другому висоту. S, см2 16 240 h, см 8

4,8 Задайте формулою залежність h від S.

310.° Бригада із семи робітників з однаковою продуктивністю праці може виконати певне виробниче завдання за 12 днів. Скільки потрібно робітників з такою самою продуктивністю праці, щоб виконати це завдання за 4 дні?

311.° Заготовлених кормів вистачить для 24 коней на 18 днів. На скільки днів вистачить цих кормів для 36 коней?

312.° Серед даних функцій укажіть обернені пропорційності:

1) y = 2x; 3) y x = 2 ; 5) y x =− 08, ; 7) y x = 1 2 ; 2) y x = 2 ; 4) y x =− 1 ; 6) y x = 2 3 ; 8) y x = 2 3 .

На чому ґрунтується ваш вибір? Обговоріть ваші відповіді з однокласниками й однокласницями.

313.° Задано функцію y x = 24 . Знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –3; 6; 0,2; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 12; –6; 100.

314.° Задано функцію y x =− 36 . Знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –4; 0,9; 18; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 6; –0,3; 8.

315.° Побудуйте графік функції y x =− 8 . Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 4, –1;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 2, –8;

3) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень.

316.° Побудуйте графік функції y x = 10 . Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 2, –10;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 5, –2;

3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

317.° Не виконуючи побудови графіка функції y x = 28 , визначте, чи проходить графік через точку: 1) A (–4; –7); 2) B (14; –2); 3) C (0,5; 14); 4) D (0,2; 140).

318.° Не виконуючи побудови графіка функції y x =− 48 ,

значте, чи проходить графік через точку: 1) A (–6; –8); 3) C (0,3; –16); 2) B (12; –4); 4) D (0,4; –120).

319.• На рисунку 12 зображено графік залежності часу t руху з пункту A до пункту B від швидкості v руху. Користуючись графіком, визначте: 1) за який час можна

пункту A до пункту B, якщо рухатися зі швидкістю 8 км/год; 24 км/год;

2) з якою шви дкістю тре ба рух атися, щоб діс татися з пункту A до пункту B за 3 год; 4 год; 3) чому дорівнює відстань між пунктами A і B. 320. • Дротяний рео стат під ключено до бло ку жив лення (рис. 13). Опір реостата R залежить від положення повзунка й може змінюватися в межах від 0 до 6 Ом. Користуючись графіком залежності сили струму I від опору R за умови, що напруга на кінцях реостата залишається незмінною (рис. 14), визначте: 1) чому дорівнює сила струму, якщо опір дорівнює 2 Ом; 2) при якому значенні опору сила струму дорівнює 3 А; 3) скільки вольт становить напруга на кінцях реостата.

,

Ïîâçóíîê

Áëîê æèâëåííÿ

13

14

321.• Знайдіть значення k, при якому графік функції y k x = проходить через точку: 1) A (–5; 4); 2) B 1 6 2;;

3) C (1,5; –8).

322.• Графік функції y k x = проходить через точку A (10; 1,6). Чи проходить графік цієї функції через точку: 1) B (–1; –16); 2) C (–2; 8)?

323.• Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y x = 4 і y = x та визначте координати точок їхнього перетину.

324.• Розв’яжіть

1) 4 4 x x =− ; 2) x x −=23; 3) x x +=−25.

325.• Розв’яжіть

1) 86 x x =− ; 2) 2 2 x x = ; 3) 7 x x =− . 326.• Розв’яжіть

329.

330.

331.

334.

335.

графік

тільки одну спільну точку.

336.•• Побудуйте графік функції y x xx = 1040 4 2 3. УЧИМ ОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ

337. Завдяки заходам щодо економії електроенергії

місяць її витрати було зменшено на 20 %, за другий на 10 % порівняно з попереднім, а за третій на 5 % порівняно з попереднім. На скільки відсотків у результаті було зменшено витрати електроенергії?

338. Ціну шафи знизили на 30 %, а через деякий час підвищили на 30 %. Як змінилася, збільшилася чи зменшилася, ціна шафи порівняно з початковою і на скільки

відсотків?

Проведіть у класі обговорення: «Чи зміниться відповідь, якщо ціну шафи спочатку підвищити на 30 %, а потім знизити на 30 %?». Висловіть гіпотезу, як зміниться (збільшиться чи зменшиться) ціна товару, якщо її спочатку підвищити (знизити) на а % (а < 100), а потім знизити (підвищити) на а %. Спробуйте довести свою гіпотезу.

340. Розв’яжіть рівняння 3 525 1 210 5 225 xxx +−− += .

341. (Задача Сунь­Цзи1.) Два чоловіки отримали монети, які вони повинні поділити між собою так, що коли до монет, які отримає перший із них, додати половину монет другого або до монет, які отримає другий, додати

першого, то в обох випадках

1–11 мають по чотири варіанти відповіді, з яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний варіант відповіді.

1. Розв’яжіть рівняння x x 2100 10 0 = . А) –10; 10; В) –10; Б) 10; Г) коренів немає.

2. Розв’яжіть рівняння x x = 10 21000. А) –10; 10; В) –10; Б) 10; Г) коренів немає.

1 Сунь-Цзи китайський математик, який

3. Яка з наведених рівностей є правильною? А) 101000 3 =− ; В) (); −=−231 8

4. Як записують у стандартному вигляді число 42 000? А) 42103 ,; æ В) 042105 ,; æ Б) 42104 ,; æ Г) 42103 æ .

5. Як записують у вигляді десяткового дробу число 63103,? æ А) 0,63; В) 0,0063; Б) 0,063; Г) 0,00063.

6. Подайте число 1 25 у вигляді степеня з основою 5. А) 5–2;Б) 52; В) 5–3; Г) 53.

7. Знайдіть значення виразу 93 8127 25 3 æ æ . А) 81; Б) 1 81 ; В) 27; Г) 1 27 .

8. Яка з даних функцій не є оберненою пропорційністю?

А) y x = 3 ; В) y x = 3 2 ; Б) y x =− 3 ; Г) y x = 3 2 .

9. На одному з рисунків зображено графік функції y x =− 4 . Укажіть цей рисунок. y y y y x 0 x

y y y y

y y y y

y y y y

10. При якому значенні k графік функції y k x = проходить через точку A (–3; 0,6)? А) –1,8; Б) –0,2; В) –2,4;Г) –3,6.

11. Розв’яжіть рівняння 21 4 31 4 48 16 2 2 x x x x x x + + + −= . А) 0; 4; Б) –4; 0; В) –4; Г) 0.

У завданні 12 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

12. Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним йому виразом (А–Д). Вираз

рівний

1) () c 22 2) cc 22 : 3) cc 24 æ

1.° Розв’яжіть рівняння: 1) 56 3 2 3 0

2)

2.° Запишіть у стандартному вигляді число: 1) 324 000; 2) 0,0057.

3.° Подайте у вигляді степеня з основою

4.° Спростіть вираз 045912714 ,. mnmn æ

5.° Знайдіть значення

1) 52 1 4 3 + 

6.• Перетворіть

; 2) 77 7 103 11 æ .

7.

Обчисліть значення

8.• Розв’яжіть графічно рівняння

9.

Побудуйте графік функції y

Користуючись

значеннях a пряма y = a буде

графіком даної функції тільки одну спільну точку.

Раціональний вираз

Цілі та дробові вирази називають раціональними виразами.

Допустимі значення змінних

Допустимими значеннями змінних, що входять до раціонального виразу, називають усі значення змінних, при яких цей вираз має зміст.

Тотожно рівні вирази

Вирази, відповідні значення яких рівні при будь-яких допустимих значеннях змінних, що в них входять, називають тотожно рівними.

Тотожність

Рівність, яка

104

Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками

Щоб додати раціональні дроби з однаковими знаменниками, треба додати їхні чисельники, а знаменник залишити той самий.

Щоб знайти різницю раціональних дробів з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другого дробу, а знаменник залишити той самий.

Множення раціональних дробів

Добутком двох раціональних

чисельник якого

Ділення раціональних дробів

Часткою двох раціональних дробів є раціональний

чисельника діленого та знаменника дільника, а знаменник добутку знаменника діленого та чисельника дільника.

Піднесення раціонального дробу

степеня

Щоб піднести раціональний дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник і знаменник. Перший результат записати як чисельник,

Рівносильні рівняння Два рівняння називають рівносильними, якщо вони мають одні й ті самі корені

Властивості рівнянь Якщо до обох частин даного рівняння додати

Раціональне рівняння

Рівняння, ліва й права частини якого є раціональними виразами, називають раціональним.

Степінь із цілим від’ємним показником

Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, і натурального числа n a n n a = 1 .

Степінь з показником, рівним нулю Для будь-якого числа a, яке не дорівнює нулю, a0 = 1.

Стандартний вигляд числа Стандартним виглядом числа називають його запис у вигляді добутку a n æ10, де 110 m a < і n ціле число.

Властивості степеня із цілим показником Для будь-яких a ≠ 0 і b ≠ 0 та будь-яких цілих m і n виконуються рівності: aaamnmn æ = + (основна властивість степеня); (); aamnmn = (ab)n = anbn; am : an = am – n; a b a b n n n

= .

Функція обернена пропорційність

Функцію, яку можна задати формулою виду y k x = , де k ≠ 0, називають оберненою пропорційністю.

Властивості функції y k x =

Область визначення: усі числа, крім 0.

Область значень: усі числа, крім 0.

Графік: гіпербола.

Нуль функції: не існує.

Властивість графіка: якщо точка A (x0; y0) належить гіперболі y k x = , то точка B (–x0; –y0) також належить цій гіперболі.

Вивчаючи матеріал цього параграфа, ви ознайомитеся з функцією y = x2 та її властивостями.

Дізнаєтеся про нову дію «добування квадратного кореня». Вам стане зрозуміло, що для вивчення навколишнього світу лише раціональних чисел недостатньо.

Ви ознайомитеся з нов им математичним поняттям — а рифметичним квадратним коренем, дізнаєтеся

властивості. Навчитеся спрощувати вирази, які містять квадратні корені.

Позначимо через y площу квадрата зі

y = x2 .

зміною сторони x квадрата відповідно змінюватиметься і його площа y.

Зрозуміло, що кож ному зна ченню

дає єдине значення змінної y. Отже, залежність змінної y від змінної x є функціональною, а формула y = x2 задає функцію.

Розглянемо функцію y = x2 , областю визначення якої є

всі числа. У таблиці наведено деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції.

Рис. 15 Рис. 16

Областю значень функції y = x2 є всі невід’ємні числа. Якби вдалося позначити на координатній площині всі

точки, координати яких задовольняють рівняння y = x2 , то отримали б фігуру графік функції y = x2 , яку називають параболою (рис. 17).

Точка з координатами (0; 0) ділить

кожну з яких

точку вершиною

§ 2. КВАДРАТНІ

У таблиці наведено властивості функції y = x2 , вивчені у цьому пункті.

Область визначення Усі числа

Область значень Усі невід’ємні числа

Графік Парабола Нуль функції (значення

аргументу, при якому значення функції дорівнює 0) x = 0

Властивість графіка Якщо точка A (x0; y0) належить параболі y = x2 , то точка B (–x0; y0) також належить цій параболі.

ПРИКЛАД. Розв’яжіть графічно рівняння x2 = x + 2. Розв’язання. В одній системі координат побудуємо графіки функцій y = x2 і y = x + 2 (рис. 18). Ці графіки перетинаються у двох точках, абсциси яких дорівнюють 2 і –1. Отже, як при x = 2, так і при x = –1 значення виразів x2 і x + 2 рівні, тобто числа 2 і –1 є коренями рівняння x2 = x + 2. Перевірка це підтверджує. Справді, 22 = 2 + 2 і (–1)2 = –1 + 2. Відповідь: 2; –1. ◄

109 11. Функція y = x2 та її графік ВПРАВИ

343.° Функцію задано формулою y = x2 . Знайдіть: 1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –6; 0,8; –1,2; 150; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 49; 0; 2500; 0,04.

344.° Не виконуючи побудови графіка функції y = x2 , визначте, чи проходить цей графік через точку: 1) A (–8; 64); 2) B (–9; –81); 3) C (0,5; 2,5); 4) D (0,1; 0,01).

345.• Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій y = x2 і y = 4x – 4. Побудуйте графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

346.• Розв’яжіть графічно рівняння: 1) x2 = x – 1; 2) x2 – 2x – 3 = 0; 3) x x 28 = .

347.• Розв’яжіть графічно рівняння: 1) x2 = –4x – 3; 2) x2 – 3x + 5 = 0; 3) x x 210 += .

348.• Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

2)

349.• Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

1) yx

1) Знайдіть

2) Побудуйте

3) Визначте,



351.•• Дано функцію fx

1) Знайдіть f (–4), f (–0,3), f (1,9), f (3), f (–1), f (2).

2) Побудуйте графік даної функції.

3) Визначте, при яких значеннях a

y = a

мати з графіком даної функції рівно дві спільні точки.

352.•• Дано функцію fx x x x x (),, ,. = + >

1) Знайдіть f (–7), f (0), f (2).

2) Побудуйте графік даної функції.

3) Визначте, при яких

20 10 якщо якщо m

мати з графіком даної функції тільки одну спільну точку.

 353.•• Дано функцію fx

6 1 21 якщо якщо m

1) Знайдіть f (–12), f (–1), f (–0,9), f (3), f (0).

2) Побудуйте графік даної функції.

3) Визначте, при яких значеннях a пряма y = a буде мати з графіком даної функції рівно дві спільні точки.

354.•• Побудуйте графік функції: 1) y xx x = + + 32 1 ; 2) y xx x = 42 2 4 4 .

355.•• Побудуйте графік функції y x x = 3 .

356.•• Знайдіть область визначення, область значень і нулі

358.*

§ 2. КВАДРАТНІ

364. У 2013 р. кількість інтернет-користувачів і користувачок в Україні становила 18,5 млн осіб, у 2017 р. 26,3 млн осіб, у 2018 р. 27,8 млн осіб, у 2022 р. 34,1 млн осіб. За який із періодів, 2013–2017 рр. чи 2018–2022 рр., був більшим відсотковий приріст кількості інтернет-користувачів і користувачок?

365. Знайдіть стор ону квад рата, площ а яког о

внює: 1) 25 см2; 2) 1600 дм2; 3) 0,04 м2.

366. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 = 9; 2) x 236 49 = .

367. При яких значеннях a рівняння x2 = a не має коренів?

368. Побудуйте графіки функцій y = x2 і y = 1 та знайдіть координати їхніх спільних точок.

369. Натуральні числа x, y

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь 113

Наведемо кілька прикладів.

Квадратними коренями із числа 9 є числа 3 і

Справді, 32 = 9, (–3)2 = 9.

Квадратними коренями із

Справді,

Квадратним коренем із числа 0 є тільки число 0. Справді, існує лише

це число 0.

Оскільки не існує числа, квадрат якого дорівнює від’єм-

ному числу, то квадратного кореня з від’ємного числа не існує.

Додатний корінь рівняння x2 = 49, число 7, є відповіддю до задачі про знаходження сторони квадрата, площа якого дорівнює 49 квадратним одиницям. Це число називають арифметичним квадратним коренем із числа 49.

Арифметичний квадратний корінь із числа a позначають a . Знак називають знаком квадратного кореня або радикалом (від лат. radix корінь). Запис a читають: «квадратний корінь з a», опускаючи при читанні слово «арифметичний». Вираз, який стоїть під радикалом, називають підкореневим виразом. Наприклад, у записі b 5 двочлен b – 5 є підкореневим виразом. З означення арифметичного квадратного кореня випливає, що підкореневий

вати тільки невід’ємних значень. Дію знаходження арифметичного квадратного

§ 2. КВАДРАТНІ

Узагалі, рівність ab = виконується за умови, що b l 0 і b2 = a.

Цей висновок можна подати в іншій формі: для будь�якого невід’ємного числа a справедливо, що a l 0 і aa()2 = .

Наприклад, 40 l і 44 2() = ,20 l і 22 2() = ,520, l і 5252 2 ,,. ( ) = Наголосимо, що до поняття

ми

шли, розв’язуючи рівняння виду x2 = a, де a l 0. Коренями цього рівняння є числа, кожне з яких є квадратним коренем із числа a.

графічно рівняння x2 = 4. В одній системі координат побудуємо графіки функцій y = x2 і y = 4 (рис. 21). Точки перетину цих графіків мають абсциси 2 і –2, які і є коренями заданого рівняння.

Рис. 21 Рис. 22

Рівняння x2 = a при a < 0 не має коренів, що підтверджується

y = x2 і y = a при a < 0 спільних точок не мають (рис. 22).

При a = 0 рівняння x2 = a має єдиний корінь x = 0, що також підтверджується графічно:

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь 115

(рис. 22). При цьому коренями рівняння x2 = a є числа a

і a . Дійсно, aa() = 2 , () = aa 2 .

Наприклад, рівняння x2 = 5 має два корені: 5 і 5.

ПРИКЛАД 1. Знайдіть значення виразу ( ) 82 2 . Розв’язання. Застосувавши правило піднесення добутку

до степеня та тотожність aa() = 2 , отримуємо: ( ) =− () == 8282642128 2 2 2 (). ææ ◄

ПРИКЛАД 2. Розв’яжіть рівняння: 1) 1 2 30 x −= ; 2) 122 ++= x .

Розв’язання. 1) Маємо: 1 2 3 x = ; x = 6. Тоді x = 6 2; x = 36.

Відповідь: 36. 2) 122 ++= x ;1222 ++= x ; x +=23; x + 2 = 32; x = 7.

Відповідь: 7. ◄

ПРИКЛАД 3. Розв’яжіть рівняння (x – 5)2 = 16.

Розв’язання. (x – 5)2 = 16; x – 5 = –4 або x – 5 = 4; x = 1 або x = 9.

Відповідь: 1; 9. ◄

ПРИКЛАД 4. Розв’яжіть рівняння (3x – 1)2 = 2.

Розв’язання. (3x – 1)2 = 2; 312 x −=−

312 x =+ ; x = 12 3

x = + 12 3 .

Відповідь: 12 3 ; 12 3 + . ◄

§ 2. КВАДРАТНІ

числом. Отже, цей добуток набуватиме невід’ємних значень, якщо другий множник x набуватиме недодатних значень. Відповідь: при x m 0.

2) Даний вираз має зміст, якщо виконуються дві умови: має зміст вираз x і знаменник x 2 відмінний від нуля. Отже, повинні одночасно виконуватися дві умови: x l 0 і x −≠20. Звідси x l 0 і x ≠ 4.

Відповідь: при x l 0 і x ≠ 4. ◄

ПРИКЛАД 6. Розв’яжіть рівняння: 1) −+−= xx 22; 3) (). xx+−=220 2) xxx2220 −+−= ;

Розв’язання. 1) Ліва частина даного рівняння має зміст, якщо підкореневі вирази –x і x – 2 одночасно набувають невід’ємних значень. З того, що перший підкореневий вираз має бути невід’ємним, маємо: x l 0, тоді x m 0. Але коли x m 0, то другий підкореневий вираз, x – 2, набуває тільки від’ємних значень. Отже, ліва частина даного рівняння не

має змісту.

Відповідь: коренів немає.

2) Ліва частина даного рівняння є сумою двох доданків, кожен з яких може набувати тільки невід’ємних значень. Тоді їхня сума дорівнюватиме нулю, якщо кожен з доданків дорівнює нулю. Отже, одночасно мають виконуватися дві умови: xx220 −= і x −=20. Це означає, що треба знайти спільні корені отриманих рівнянь, тобто розв’язати систему рівнянь xx x 220 20 −= −=

і

няння, є число 2. Відповідь: 2. 3) Використовуючи умову рівності

нулю, отримуємо: x + 2 = 0 або x −=20; x = –2 або x = 2.

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь 117

Проте при x = –2 вираз x 2 не має змісту. Отже, дане рівняння має єдиний корінь число 2. Відповідь: 2. ◄

1. Що називають квадратним коренем із числа a? 2. Що називають арифметичним квадратним коренем із числа a? 3. Як позначають арифметичний квадратний корінь із числа a? 4. Як

називають знак ? 5. Як читають запис a? 6. Як назива-

ють вираз, який стоїть під радикалом? 7. Яких значень може

набувати підкореневий вираз? 8. Як називають дію знаходження арифметичного квадратного кореня із числа? 9. Чому

дорівнює значення виразу a ()2 для будь-якого невід’ємного числа a? 10. Скільки коренів має рівняння xa 2 = при a > 0?

Чому вони дорівнюють? 11. Чи має корені рівняння x2 = a при a = 0? при a < 0? ГОВОРИМО

Пригадайте. У складених кількісних числівниках відмінюємо всі складові частини, наприклад: Н. в. сімсот тридцять два, три тисячі чотириста дев’яносто п’ять;

семисот тридцяти двох, трьох тисяч чотирьохсот дев’яноста п’яти; Д. в. семистам тридцяти двом, трьом тисячам чотирьомстам дев’яноста п’ятьом; З. в. сімсот тридцять два, три тисячі чотириста дев’яносто п’ять; О. в. сімомастами тридцятьма двома, трьома тисячами чотирмастами дев’яноста п’ятьома; М. в. (на) семистах тридцяти двох, (на) трьох тисячах чотирьохстах дев’яноста п’яти.

370.° Чому дорівнює квадратний корінь

арифметичний квадратний корінь із цих чисел?

371.° Чи є правильною рівність (відповідь обґрунтуйте): 1) 255 = ; 3) 366 =− ; 5) 08109,,; = 2) 00 = ; 4) 0402,,; = 6) 10100 = ?

372.° Знайдіть значення арифметичного квадратного кореня: 1) 9; 2) 49; 3) 100; 4) 225;

5) 025,; 8) 196,; 11) 1 64 ; 14) 36 25 ; 6) 001,; 9) 400; 12) 4 9 ; 15) 00004,;

7) 121,; 10) 3600; 13) 19 16 ; 16) 0000025,.

373.°

1) 36; 4) 004,; 7) 2500; 10) 5 4 9 ; 2) 64; 5) 049,; 8) 10000; 11) 00009,; 3) 144; 6) 169,; 9) 16 121 ; 12) 00196,.

374.° Чи має зміст вираз:

1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) (); 22 5) () 2 2 ? Обґрунтуйте вашу думку. Обговоріть ваші відповіді з однокласниками й однокласницями.

375. ° Знайдіть числ о, ариф метичний квад ратний корі нь з якого дорівнює:

1) 4; 2) 0; 3) 0,8; 4) 2 1 4 ; 5) 1,6; 6) –9.

376.° Користуючись таблицею квадратів натуральних чисел, розміщеною на форзаці, знайдіть: 1) 484; 4) 5929; 7) 6889,; 2) 729; 5) 576,; 8) 67600; 3) 1156; 6) 1444,; 9) 384400.

377.° Знайдіть: 1) 841; 3) 961,; 5) 7225,; 2) 1296; 4) 1024,; 6) 672400.

378.° Знайдіть значення виразу: 1) 7 2() ; 3) () 11 2 ; 5) 23 2 ( ) ; 2) 42 2 ,; ( ) 4) () 10 2 ; 6) 1 2 2 

;

7) 

3 2 2 ; 8)

9) ( ) 032 2 ,. 379.° Обчисліть:

1) 6 2() ; 3) 32 2 ( ) ; 5) 

6 3 2 ;

2) () 21 2 ; 4) ( ) 45 2 ; 6) 1 4 26 2

.

380.° Знайдіть значення виразу:

1) 169 + ; 7) 1 3 0092,;

2) 169 + ; 8) −+201607,,; 3) 3649; 9) 1338 22() ()æ ;

4) 100064 æ ,; 10) 1 6

æ()

; 5) 5425; 11) 502 1 5 2 æ

;

6) 081001 ,,; + 12) 45822 æ .

381.° Обчисліть значення виразу:

1) 336 + ; 4) 1 3 900021600 + ,; 2) 7264; 5) 26321 22 ( ) () ; 3) 16225 æ ; 6) 1043 22 æ .

382.° Знайдіть значення виразу: 1) 12 + a , якщо a = 0,25; 3) 2ab , якщо a = 34, b = 19. 2) 73b , якщо b = 2;

383.° Знайдіть значення виразу: 1) 27 + m , якщо m = 54; 2) mn3, якщо m = 0,13, n = –0,04.

384.° Розв’яжіть рівняння: 1) x = 9; 2) x = 1 4 ; 3) x −=020,; 4) x +=70.

385.° Розв’яжіть рівняння:

1) x = 20; 2) x =−16; 3) x −= 2 3 0.

386.° Розв’яжіть рівняння: 1) x2 = 25; 2) x2 = 0,49; 3) x2 = 3; 4) x2 = –25.

387.° Розв’яжіть рівняння: 1) x2 = 100; 2) x2 = 0,81; 3) x2 = 7; 4) x2 = 3,6.

388.• Знайдіть значення виразу: 1) +− 0061000025324 8 256 ,,,; æ 2) 64625217 3 æ ,; ++ 3) 137063025 11 25 1 9 +− ,; 4) 1 5 752624 2 22 

+− ; 5) 3883224 222 ( ) + ( ) () .

389.• Знайдіть значення виразу: 1) 015360001840010008 2 ,,,; −+ ( ) 2) 95 361 13 14 27 169 181522−++ .

390.• Знайдіть значення виразу babbcca bc d 3323 2 −−+ + () , якщо a =− 1 2, b = –0,19, c = 0,18, d = 0,04. 391.• При яких

1) x ; 5) x 8; 9) 1 82() ; x 13) 1 xx æ ; 2) x ; 6) 8 x ; 10) 1 3 x ; 14) x ; 3) x 2 ; 7) x 28 + ; 11) 1 3 x + ; 15) x ; 4) x 2 ; 8) (); x 82 12) xx æ ; 16) 1 x ?

392.• При яких значеннях y має зміст вираз:

1) 2y ; 3) y 3 ; 5) y 4 ; 7) 1 1 y ;

2) 3y ; 4) y 3 ; 6) 1 y ; 8) 1 1 y + ?

393.• Розв’яжіть рівняння:

1) 540 x −= ; 4) 42 6 x = ; 2) 540 x −= ; 5) 18 3 9 x + = ; 3) 546 x −= ; 6) x 2368 −= .

394.• Розв’яжіть рівняння:

1) 1 3 20 x −= ; 3) 4 5 6 x = ; 2) 2311 x += ; 4) 1309 2 −= x .

395.• Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 6)2 = 0; 3) (x + 6)2 = 3; 2) (x + 6)2 = 9; 4) (7x + 6)2 = 5.

396.• Розв’яжіть рівняння: 1) (2x – 3)2 = 25; 2) (x – 3)2 = 6; 3) (2x – 3)2 = 7.

397.•• Розв’яжіть рівняння:

1) 324 ++= x ; 3) 4102 −+= x . 2) 233 ++= x ;

398.•• Розв’яжіть рівняння: 1) 1765 +−= x ; 2) 121 ++= x .

399.•• При яких значеннях a і b має зміст вираз: 1) ab ; 2) ab ; 3) ab2 ; 4) ab22 ; 5) ab2?

400.•• Чи можна стверджувати, що при будь-якому значенні x має зміст вираз: 1) xx244 −+ ; 2) xx245 −+ ? Обґрунтуйте ваші відповіді та обговоріть їх з однокласниками й однокласницями.

401.•• Доведіть, що не існує такого значення x, при якому має зміст вираз −+− xx2612.

402.•• Який з даних виразів має зміст при будь-якому значенні x: 1) xx2815 ++ ; 2) xx21027 −+ ?

§ 2. КВАДРАТНІ

403.•• Розв’яжіть рівняння:

1) xx =− ; 4) xxx 22240++−= ; 2) xx+−=10; 5) (); xx−+=110

3) xxx210 −+−= ; 6) (). xx+−=110

Поміркуйте, чому на перший погляд дуже схожі рівняння 5) і 6) мають різну кількість коренів. Проведіть у класі відповідне обговорення.

404.•• Розв’яжіть рівняння:

1) xx+−= 0; 3) xxx 222110 −++−= ; 2) xx+−= 1; 4) (). xx−−=230

405.•• При яких значеннях a рівняння x2 = a + 1: 1) має два корені; 3) не має коренів? 2) має один корінь;

406.•• Побудуйте графік функції:

1) yx =− 2 ; 3) yx = ()2 . 2) yxx=−−−+2442;

407.•• Побудуйте графік функції yxx=−−−211 2 .

408.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) ax −=10; 3) axa −=1; 2) (); ax−=10 4) xa −=2.

409.* При яких значеннях a рівняння xxa() −=10() має тільки один корінь?

12. Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь 123

Обговоріть у класі, чому кожна людина, яка працює, зобов’язана сплачувати податки. За можливості проведіть розрахунки сум податків, які сплачують члени вашої родини або ваші знайомі.

411. Українські лінгвісти і лінгвістки дослідили велику кількість сучасних текстів і підрахували, наскільки часто в них трапляється та чи інша буква українського алфавіту. У таблиці наведено інформацію про те, скільки разів у се-

трапляються

/ учасниці групи вибирають

літератури, далі, зробивши відповідні розрахунки, складають

площею, а сам квадратний корінь називали «стороною».

Стародавній Індії слово «мула» означало «початок», «основа», «корінь дерева». Це слово почали застосовувати й до сторони квадрата, можливо, виходячи з такої асоціації: зі сторони квадрата, як із кореня, виростає сам квадрат. Мабуть, тому в латинській мові поняття «сторона» та «корінь» виражаються одним і тим самим словом radix. Від цього слова походить термін «радикал».

Слово radix можна також перекласти як «редис», тобто коренеплід частина рослини, видозмінений корінь, який може бути їстівним.

У XIII–XV ст. європейські математики, скорочуючи слово radix, позначали квадратний корінь знаками R, R , R2 . Наприклад, запис 7 мав такий вигляд: R27.

О. В. Погорєлов (1919 – 2002)

Задача 390 варта уваги ще й тому, що в 1935 р. саме її умовою відкривався текст першої математичної олімпіади в Україні. Ініціатором цих математичних змагань був видатний український математик, академік Михайло Пилипович Кравчук (його портрет розміщено на форзаці на початку підручника). Пам’ятник М. П. Кравчуку встановлений на території Національного технічного університету України «Київський політехнічний інститут». На базі цього навчального закладу раз на два роки проводять Міжнародні математичні конференції імені академіка М. П. Кравчука. За понад 90 років математичні олімпіади стали для багатьох талановитих школярів і школярок першим крок ом на шлях у до наук ової творчості. Сьогодні такі імена, як О. В. Погорєлов, С. Г. Крейн, М. О. Красносельський, В. Г. Дрінфельд, відомі в усьому науковому світі. Ці видатні вчені в різні роки були пере можцями мате матичних олімпіад в Україні. Із задоволенням зазначаємо, що й сьогодні математичні олімпіади в Україні дуже популярні. Десятки тисяч школярів і школярок нашої країни на різних етапах беруть участь у цьому математичному змаганні. В організації та проведенні олімпіад задіяно наукову та освітянську спільноту. Саме завдяки ентузіазму та професіоналізму цієї спільноти команда України гідно представляє нашу країну на міжнародних маміжнародних маіжнародних математичних олімпіадах. Радимо й вам, любі восьмикласники та восьмикласниці, брати участь у математичних олімпіадах.

13. Множина та її елементи. Підмножина

Ми часто говоримо: стадо баранів, букет квітів, колекція марок, косяк риб, зграя птахів, рій бджіл, зібрання

126

§ 2. КВАДРАТНІ

птахів, колекція картин, колекція ручок тощо є прийнятними. Річ у тім, що слово «колекція» досить універсальне. Однак у математиці є термін, яким можна замінити будь-яке з перших слів у наведених парах. Це термін множина. Наведемо ще кілька прикладів множин:

• множина учнів вашого класу;

• множина планет Сонячної системи;

• множина двоцифрових чисел;

• множина пар чисел (x; y), які є розв’язками рівняння x2 + y2 = 1.

Окремим найважливішим множинам присвоєно загальноприйняті назви та позначення:

• множина точок площини геометрична фігура;

• множина точок, які мають задану властивість, геометричне місце точок (ГМТ);

• множина значень аргументу функції f область визначення функції f, яку позначають D (f);

• множина значень функції f область значень функції f, яку позначають E (f).

Як правило, множини позначають великими літерами латинського алфавіту: A, B, C, D і т. д.

Об’єкти, які складають дану множину, називають елементами цієї множини. Зазвичай елементи позначають малими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d і т. д.

Якщо a елемент множини A, то пишуть: a ∈ A (читають: «a належить множині A»). Якщо b не є елементом множини A, то пишуть: b ∉ A (читають: «b не належить множині A»).

Якщо множина A складається з трьох елементів a, b, c, то пишуть: A = {a, b, c}.

Якщо M множина натуральних дільників числа 6, то пишуть: M = {1, 2, 3, 6}. Множина дільників числа 6, які є складеними числами, має такий вигляд: {6}. Це приклад одноелементної множини.

Задавати множину за допомогою фігурних дужок, у яких вказано список її елементів, зручно у тих випадках, коли множина складається з невеликої кількості елементів. Означення: Дві множини A і B називають р івними, якщо

A

B належить множині A.

13. Множина та її елементи. Підмножина 127

Якщо множини A і B рівні, то пишуть: A = B.

З означення випливає, що множина однозначно визна чається своїми елементами. Якщо множину записано за допомогою фігурних дужок, то порядок, у якому виписано її елементи, не має значення. Так, припускають шість варіантів запису множини, яка складається з трьох елементів a, b, c: {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}.

Оскільки з озна чення рівн их множ ин випл иває, що, наприклад, {a, b, c} = {a, a, b, c}, то надалі розглядатимемо множини, які складаються з різних елементів. Так, множина букв слова «космодром» має вид {к, о, с, м, д, р}.

Зазначимо, що {a} ≠ {{a}}. Справді, множина {a} складається з одного елемента a; множина {{a}} складається з одного елемента множини {a}. Найчастіше множину задають одним із таких двох способів.

Перший спосіб полягає в тому, що множину задають указанням (переліком) усіх її елементів. Ми вже використовували цей спосіб, записуючи множину за допомогою фігурних дужок, у яких указували перелік її елементів. Зрозуміло, що не будь-яку множину можна задати в такий спосіб. Наприклад, множину парних чисел так задати неможливо.

Другий спосіб полягає в тому, що вказують характеристичну властивість елементів множини, тобто властивість, яку мають усі елем енти дано ї множ ини й тіль ки вони . Наприклад, властивість «натуральне число при діленні на 2 дає в остачі 1» задає множину непарних чисел. Якщо задавати множину характеристичною властивістю її елементів, то може виявитися, що жоден об’єкт цієї властивості не має.

Звернемося до прикладів.

• Множина трикутників, сторони яких пропорційні числам 1, 2, 5. З нерівності трикутника випливає, що ця множина не містить жодного елемента.

• Позначимо через A множину учнів і учениць вашого класу, які є майстрами спорту з шахів. Може виявитися, що множина A також не містить жодного елемента.

• Розглядаючи множину коренів довільного рівняння, потрібно передбачити ситуацію, коли рівняння коренів не має.

128

§ 2. КВАДРАТНІ

Наведені приклади вказують на те, що зручно до сукупності множин віднести ще одну особливу множину, яка не містить жодного елемента. Її називають порожньою множиною та позначають символом ∅.

Зазначимо, що множина {∅} не є порожньою. Вона містить один елемент порожню множину. Розглянемо множину цифр десяткової системи числення: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Виокремимо з множини A її елементи, які є парними цифрами. Отримаємо множину B = {0, 2, 4, 6, 8}, усі елементи якої є елементами множини A.

Це записують так: B ⊂ A або A ⊃ B (читають: «множина B підмножина множини A» або «множина A містить множину B»).

Розглянемо приклади:

• множина учнів і учениць вашого класу є підмножиною множини учнів і учениць вашої школи;

• множина ссавців є підмножиною множини хребетних;

• множина точок променя CB є підмножиною множини точок прямої AB (рис. 24);

• множина прям окутників є підмножиною множини паралелограмів;

• {a} ⊂ {a, b}.

Для ілюстрації співвідношень між множинами користуються схемами, які називають діаграмами Ейлера. На рисунку 25 зображено множину A (більший круг) і множину B (менший круг, який міститься в більшому). Ця схема означає, що B ⊂ A (або A ⊃ B). З означень підм ножини та рівн ості множин випливає, що коли A ⊂ B і B ⊂ A, то A = B. Якщо

13. Множина та її елементи. Підмножина 129 якої множини. Справді, порожня множина не містить жодного елемента, отже, у ній немає елемента, який не належить даній множині A. Тому для будь-якої множини A справедливо твердження: ∅ ⊂ A. Будь-яка множина A є підмножиною самої себе, тобто A ⊂ A.

ПРИКЛАД. Випишіть усі підмножини множини A = {a, b, c}. Розв’язання. Маємо: {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}, ∅. ◄

1. Як позначають множину та її елементи? 2. Як позначають область визначення та область значень функції? 3. Як записати, що елемент належить (не належить) множині A? 4. Які множини називають рівними? 5. Які існують способи задання множин? 6. Яку множину називають порожньою? Як її позначають? 7. Яку множину називають підмножиною даної множини? 8. Як наочно ілюструють співвідношення між множинами? 9. Яка множина є підмножиною будь-якої множини?

416.° Як називають множину точок кута, рівновіддалених від його сторін?

417.° Як називають множину вовків, що підкорюються одному ватажку?

418.° Назвіть яку-небудь множину учнів і учениць вашої школи.

419.° Як називають множину вчителів і вчительок, які працюють в одній школі?

420.° Дано функцію f (x) = x2 . Поставте замість зірочки знак ∈ або ∉ так, щоб отримати правильне твердження: 1) 3 * D (f); 2) 0 * D (f); 3) 0 * E (f);4) 1 2 *(). Ef

421.° Як ви вважаєте, які з наведених тверджень є правильними: 1) 1 ∈ {1, 2, 3};3) {1} ∈ {1, 2};5) ∅ ∉ {1, 2}; 2) 1 ∉ {1}; 4) {1} ∈ {{1}};6) ∅ ∈ {∅}? Обговоріть ваші відповіді в класі.

422.° Запишіть множину коренів рівняння: 1) x (x – 1) = 0; 3) x = 2; 2) (x – 2) (x2 – 4) = 0;4) x2 + 3 = 0.

§ 2. КВАДРАТНІ

423.° Задайте за допомогою переліку елементів множину: 1) букв української мови, яким відповідають голосні звуки; 2) правильних дробів, знаменник яких не більший за 4; 3) букв слова «математика»; 4) цифр числа 5555.

424.° Як ви вважаєте, які з множин A і B є рівними, якщо: 1) A = {1, 2}, B = {2, 1}; 2) A = {(1; 0)}, B = {(0; 1)}; 3) A = {1}, B = {{1}}?

Обговоріть ваші відповіді з однокласниками й однокласницями.

425.° Назвіть кілька підмножин учнів і учениць вашого класу.

426.° Нехай A множина букв слова «координата». Множина букв якого зі слів є підмножиною множини A: 1) трактор;4) нитки;7) дорога; 2) картина;5) нарада;8) корона? 3) крокодил;6) дарунок;

427.° Нехай A множина цифр числа 1958. Чи є множина цифр числа x підмножиною множини A, якщо: 1) x = 98;3) x = 519;5) x = 195 888; 2) x = 9510;4) x = 5858;6) x = 91 258?

428.° Нехай A ≠ ∅. Які дві різні підмножини завжди має множина A?

429.• Чи рівні множини A і B, якщо: 1) A множина коренів рівняння | x | = x, B множина невід’ємних чисел; 2) A множина чотирикутників, у яких протилежні сторони попарно рівні; B множина чотирикутників, у яких діагоналі точкою перетину діляться навпіл?

430.• Які з наведених множин дорівнюють порожній множині:

1)множина трикутників, сума кутів яких дорівнює 181°; 2)множина гірських вершин заввишки понад 8800 м; 3)множина гострокутних трикутників, медіана яких дорівнює половині сторони, до якої її проведено; 4)множина функцій, графіками яких є кола? Наведіть приклади ще двох множин, які дорівнюють порожній множині. Порівняйте ваші приклади з прикладами, придуманими однокласниками й однокласницями. 431.• Доведіть, що коли A ⊂ B і B ⊂ C, то A ⊂ C.

13. Множина та її елементи. Підмножина 131

432.• Розташуйте дані множини в такій послідовності, щоб

кожна наступна множина була підмножиною попередньої:

1) A множина прямокутників, B множина чотирикутників, C множина квадратів, D множина паралелограмів;

2) A множина ссавців, B множина псових, C множина хребетних, D множина вовків, E множина хижих ссавців.

УЧИМ ОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТЕ МАТИКУ

433 . Після утримання пода тку на дохо ди фізи чних

у розмірі 18 % від заробітної плати і 5 % військового збору, інженер отримав 24 640 грн. Яка заробітна плата була йому нарахована? Скільки гривень він заплатив на користь держави?

434. У саду росте більше ніж 80, але

річки?

437. Прочитайте

438.

439.

Натуральні числа це

вчилися рахувати предмети.

Практичні потреби

спричинили виникнення дробо виникнення дробовиникнення дробових чисел. Згодом з’явилася необхідність розглядати вели-

чини, для характеристики яких

замало. Так виникли від’ємні числа.

Усі натуральні числа, протилежні їм числа та число нуль утворюють множину цілих чисел, яку позначають буквою Z. Наприклад, −∈ 2 Z, Z 0 ∈ , Z 5 ∈ . Множина натуральних чисел є підмножиною множини цілих чисел, тобто NZ ⊂ .

Цілі та дробові (як додатні, так і від’ємні) числа утворюта дробові (як додатні, так і від’ємні) числа утворюдробові (як додатні, так і від’ємні) числа утворюють множину раціональних чисел , яку

26, показує, як співвідносяться множини N, Z і .

14. Числові множини 133

У 6 класі ви дізналися, що кожне раціональне число можна подати у вигляді скінченного десяткового дробу або у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Для дробу m n таке подання можна отримати, виконавши ділення

числа m на число n куточком. Наприклад, 5 8 0625 = ,, 5 11 0454545 = ,....

Число 5 8 записано у вигляді скінченного десяткового дробу, а число 5 11 у вигляді нескінченного періодичного де-

сяткового дробу. У записі 0,454545... цифри 4 і 5 періодично повторюються. Нагадаємо, що групу цифр, яка повторюється, називають періодом дробу й записують у круглих дужках. У даному випадку період дробу становить 45, а дріб 5 11 записують так: 5 11 045 = ,().

Зауважимо, що будь-який скінченний десятковий дріб і будь-яке ціле число можна подати у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Наприклад, 0,625 = 0,6250000... = 0,625(0); 2 = 2,000... = 2,(0).

Отже, кожне раціональне число можна подати у ви� гляді нескінченного періодичного десяткового дробу.

Справедливим є й таке твердження: кожний нескінченний періодичний десятковий

є записом деякого раціонального

§ 2. КВАДРАТНІ

Сума, різниця, добуток і частка (крім ділення на нуль) двох раціональних чисел є раціональними числами.

Отже, дія віднімання натуральних чисел може вивести результат за межі множини N, дія ділення цілих чисел за межі множини Z, проте виконання будь-якої із чотирьох арифметичних дій з раціональними числами не виводить результат за межі множини .

Ви ознайомилися з новою дією добуванням квадратного кореня. Виникає природне запитання: чи завжди квадратний корінь з невід’ємного раціонального числа є раціональним числом? Іншими словами, чи може дія добування квадратного кореня з раціонального числа вивести результат

множини ?

Розглянемо рівняння x2 = 2. Оскільки 2 > 0, то це рівняння має два корені: 2 і 2 (рис. 27). Проте не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2 (доведення цього факту ви можете знайти в рубриці «Коли зроблено уроки» в оповіданні «Відкриття ірраціональності»), тобто числа 2 та 2 не є раціональними. Ці числа є прикладами ірраціональних чисел (префікс «ір» означає заперечення).

Отже, дія добування кореня з раціонального числа може вивести результат за межі множини . Жодне ірраціональне число не

можна подати у вигляді дробу m n , де m ∈ , n ∈ , а отже, й у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу. Ірраціональні числа можуть бути подані у вигляді нескінченних неперіодичних

14. Числові множини 135

Ірраціональні числа виникають не тільки в результаті добування квадратних коренів. Їх можна конструювати, будуючи нескінченні неперіодичні десяткові дроби. Наприклад, число 0,10100100010000100000... (після коми записано послідовно степені числа 10) є ірраціональним.

Справді, якщо припустити, що розглядуваний десятковий

дріб має період, який складається з n цифр, то з деякого місця цей період повністю складатиметься з нулів, інакше

кажучи, починаючи із цього місця, у записі не повинно бути

жодної одиниці, що суперечить конструкції числа.

Разом множини ірраціональних і раціональних чисел утворюють множину дійсних чисел. Її позначають буквою (першою буквою латинського слова realis «реальний», «той, що існує насправді»).

Тепер «ланцюжок» NZ⊂⊂ можна продовжити: NZ⊂⊂⊂ .

Зв’язок між числовими множинами, які розглянуто в цьому пункті, ілюструє схема, зображена на рисунку 28.

ijéñí³÷èñëà

Ðàö³îíàëüí³ ÷èñëà

²ððàö³îíàëüí³

÷èñëà

Ö³ë³÷èñëà

Íàòóðàëüí³ ÷èñëà

Рис. 28

§ 2. КВАДРАТНІ

Над дійсними числами можна виконувати чотири арифметичні дії (крім ділення на нуль), у результаті отримуватимемо дійсне число. Цим діям притаманні звичні для вас властивості:

a + b = b + a Переставна властивість додавання

ab = ba Переставна властивість множення (a + b) + c = a + (b + c) Сполучна властивість додавання (ab) c = a (bc) Сполучна властивість множення

a (b + c) = ab + ac

Розподільна властивість множення

Дійсні числа можна порівнювати, використовуючи правила порівнювання десяткових

тобто порівнювання цифр у відповідних розрядах. Наприклад, 7,853126... < 7,853211... . Будь-яке додатне

яке від’ємне дійсне число.

від’ємне дійсне число менше від нуля. Із

чисел більшим є те, у якого модуль менший. Якщо позначити на координатній прямій два дійсних числа, то менше з них буде розміщено ліворуч від більшого. Знаходячи довжину кола та площу круга, ви користувалися наближеним значенням числа p (наприклад, p ≈ 3,14). Аналогічно під час розв’язування практичних задач, де необхідно виконати дії з дійсними числами, за потреби ці числа заміняють їхніми наближеними значеннями. Наприклад, для числа 2 можна скористуватися такими наближеними рівностями: 21414 ≈ , або 21415 ≈ ,. Першу з них називають наближеним значенням числа 2 за нестачею з точністю до 0,001, друге наближеним

лишком з точністю до 0,001. На закінчення наголосимо,

14. Числові множини 137 множини утворюють разом множину дійсних чисел? 9. Якою буквою позначають множину дійсних чисел? 10. Як взаємопов’язані числові множини N, Z,,?

ВПРА ВИ

441.° Яке з наведених тверджень хибне:

1) –3 дійсне число;3) –3 ціле число; 2) –3 раціональне число; 4) –3 натуральне число? Обговоріть ваші відповіді в класі.

442.° Як ви вважаєте, чи є правильним твердження:

1) 1 ∈ ; 4) 1 ∈ ; 7) 7 ∉ ; 2) 1 ∈ ; 5) −∈23,; 8) 121 ∉ ;

3) 1 ∈ ; 6) −∈23,; 9) π 3 ∈ ?

Обговоріть ваші відповіді в класі.

443.° Чи є правильним твердження:

1) 0 ∈ ; 3) 0 ∈ ; 5) −∉ 3 7 ; 7) 9 ∈ ;

2) 0 ∉ ; 4) −∈ 3 7 ; 6) 9 ∈ ; 8) 9 ∈ ?

444.° Як ви вважаєте, які з наведених тверджень є правильними:

1) будь-яке натуральне число є цілим;

2) будь-яке натуральне число є раціональним;

3) будь-яке натуральне число є дійсним;

4) будь-яке раціональне число є цілим;

5) будь-яке дійсне число є раціональним;

6) будь-яке раціональне число є дійсним;

7) будь-яке ірраціональне число є дійсним;

8) будь-яке дійсне число є або раціональним, або ірраціональним?

Обговоріть ваші відповіді в класі. 445.° Які з даних нескінченних дробів є записами раціональних чисел, а які ірраціональних: 1) 0,(3); 2) 0,4(32); 3) 0,20200200020... (кількість нулів між сусідніми двійками послідовно збільшується на 1)?

446.° Порівняйте: 1) 6,542... і 6,452... ; 2) –24,064... і –24,165... .

447.° Порівняйте: 1) 0,234... і 0,225... ; 2) –1,333... і –1,345... .

 448.° За допомогою

знайдіть наближене значення числа 3 з точністю до 0,01: 1) за нестачею; 2) за надлишком.  449.° За допомогою калькулятора знайдіть наближене значення числа 5 з точністю до 0,01: 1) за нестачею; 2) за надлишком.

450.• Укажіть яке-небудь значення a, при якому рівняння x2 = a:

1) має два раціональних корені; 2) має два ірраціональних корені; 3) не має коренів.

Порівняйте ваші відповіді з тими, які надали однокласники й однокласниці.

451.• Порівняйте числа:

1) 43 7 і 6,12; 4) –2,(36) і –2,36; 2) 3,(24) і 3,24; 5) 7,(18) і 7,(17). 3) p і 3,(14);

452.• Порівняйте числа: 1) 1 6 і 0,2; 2) 7 9 і 0,77; 3) –1,(645) і –1,(643).

453.• Запишіть у порядку спадання числа 3,(16); p; –1,82...; –0,08...; 2,(136).

454.• Запишіть у порядку зростання числа 1,57 Щ, 1,571... Н, 1 58 99 О, π 2 Е, 1,(56) Ю, 1,(572) К. Букви, що відповідають даним числам, утворюють прізвище видатної української програмістки і кіб ернетикині, докторки фізико-математичних наук, авторки однієї з перших у

14. Числові множини 139

1)У якому році науковиця створила мову програмування?

2)Як називається ця мова програмування?

3)У яких наукових закладах України вона працювала?

4)Яким орденом незалежної України її було нагороджено?

455.•• Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка двох раціональних чисел є раціональними числами.

456.•• Доведіть, що сума раціонального та ірраціонального чисел є ірраціональним числом.

457.•• Як ви вважаєте, чи є правильним твердження:

1)сума будь-яких двох ірраціональних чисел є ірраціональним числом;

2)добуток будь-яких двох ірраціональних чисел є ірраціональним числом;

3)добуток будь-якого ірраціонального числа та будь-якого раціонального числа є ірраціональним числом?

Обґрунтуйте вашу думку та обговоріть її з однокласниками й однокласницями.

458. Станом на 2020 р. в Україні було три міста з населенням понад 1 млн осіб. Користуючись інформацією, поданою в таблиці, установіть, у якому із цих міст щільність населення1 була найбільшою. Місто Населення, млн осіб Територія, км2 Київ

однокласників і однокласниць для участі в проєкті з дослідження щільності населення в столицях

Європейського союзу. Порівняйте отримані дані та побудуйте стовпчасту діаграму, яка демонструватиме їх для п’яти більш населених столиць. Радимо для побудови діаграми скористатися відповідними комп’ютерними програмами, такими як Excel, Word, Visio. За потреби проконсультуйтеся в учителів / учительок інформатики та географії.

1 Щільність населення це кількість жителів на 1 км2 території.

459.

460. Натуральні числа a і b є такими, що a парне число, а b непарне. Значення якого з

натуральним числом: 1) 8 5 b a ; 2) a b 2 2; 3) 4a b ; 4) b a 2 ?

461. Тракторист мав засіяти поле за 8

й тому виконав роботу за 10 днів.

462. Знайдіть значення виразу: 1) | –3,5 | – | 2,6 |; 2) |

463.

464. Для яких чисел виконується рівність: 1) | a | = a; 3) | a | = | –a |; 2) | a | = –a; 4) | a |

465. Для яких чисел одночасно виконуються

рівності | a | = a і | a | = –a?

466. Знайдіть значення кожного з виразів

a = –8 і при a = 7.

467. Відомо,

виразу: 1) a

КОЛИ

У п. 14, розв’язуючи

вили, що довжина

(рис. 29). Покажемо, що число

Припустимо, що число 2 раціональне. Тоді його можна подати у вигляді

ральні числа. Маємо:

З останньої рівності випливає, що число m2 парне. А це означає, що парним є і число m. Тоді m = 2k, де k деяке натуральне число. Маємо: (2k)2 = 2n2; 4k2 = 2n2; n2 = 2k2 . Звідси

випливає, що число n2 , а отже, і число n парні. Таким чином, чисельник і знаменник дробу m n парні числа. Отже, цей дріб є скоротним.

§ 2. КВАДРАТНІ

Спочатку піфа горійці вваж али, що для будь-яких відрізків AB і CD завжди можна знайти такий відрізок MN, який у кожному з них вкладається ціле число разів. Звідси випливало, що відношення довжин будь-яких двох відрізків виражається відношенням цілих чисел, тобто раціональним числом. Наприклад, на рису нку 30 маєм о:

AB = 5MN, CD = 2MN і AB CD = 5 2 . Відрізок MN називають спільною мірою відрізків

AB і CD. Якщо для відрізків існує спільна

то їх називають спільномірними. Наприклад, відрізки AB і CD (рис. 30) є спільномірними.

Отже,

різки є спільномірними. А із цього випливало, що довжину будь-якого відрізка можна виразити раціональним числом. Справді, нехай деякий відрізок AB вибрано за одиничний. Тоді для відрізка AB і будь-якого іншого відрізка CD існує відрізок завдовжки e, який є їхньою спільною мірою. Отримуємо: AB = ne, CD = me, де m і n деякі натуральні

числа. Звідси CD AB me ne m n == . Оскільки

AB = 1, то CD m n = .

Проте самі ж піфагорійці зробили видатне відкриття. Вони довели, що діагональ і сторона квадрата неспільномірні, тобто якщо сторону квадрата взяти за одиницю, то довжину діагоналі квадрата виразити раціональним числом не можна. Для доведення розглянемо довільний квадрат ABCD та візьмемо його сторону за одиницю довжини. Тоді його площа дорівнює AB2 = 1. На діагоналі AC побудуємо квадрат ACEF (рис. 31). Зрозуміло,

B E C D A F

15. Властивості арифметичного квадратного кореня 143 учених, а саме: відношення будь-яких двох величин виражається відношенням цілих чисел. Існує легенда про те, що піфагорійці тримали відкриття ірраціональних чисел у найсуворішій таємниці, а людину, яка розголосила цей факт, покарали боги: вона загинула під час корабельної катастрофи.

ВПРАВИ

1. Доведіть, що число 3 ірраціональне.

2. Доведіть, що коли натуральне число n

є

турального числа, то число n ірраціональне.

15.

Легко перевірити, що 55 2 = ,1414 2 ,,, = 00 2 = . Може

здатися, що при будь-якому значенні

виконується рівність aa 2 = . Проте це не так. Наприклад, рівність ()−=−55 2 є

неправильною, оскільки –5 < 0. Насправді (). −=55 2 Також

можна переконатися, що, наприклад, (), −=772(,)−= 282 = 2,8. Узагалі, є справедливою така теорема.

Теорема 15.1: Для будь-якого дійсного числа

Доведення. Для того щоб довести рівність ab = , треба

показати, що b l 0 і b2 = a. Маємо: a l 0 при будь-якому a. Також з означення модуля випливає, що aa 22 = . ◄ Наступна теорема узагальнює доведений факт.

Теорема 15.2 (арифметичний квадратний ко� рінь із степеня):

ного числа n виконується рівність aa nn 2 = .

§ 2. КВАДРАТНІ

Доведення ціє ї тео реми ана логічне дов еденню тео реми 15.1. Проведіть це доведення самостійно.

Теорема 15.3 (арифметичний квадратний

рінь з доб утку):

Для будь-яких дійсних

Доведення. Маємо: a l 0 і b l 0. Тоді abæl 0. Крім того, ababab æ æ ( ) = ()() = 222 . Отже, вираз ab æ набуває тільки невід’ємних значень, і його квадрат дорівнює ab. ◄ Цю теорему можна узагальнити для добутку трьох і більше множників. Наприклад, якщо a l 0, b l 0 і c l 0, то abcabcabcabc ===(). æææ

Доведення ціє ї тео реми ана логічне дов еденню тео реми 15.3. Проведіть це доведення самостійно. Зрозуміло, що з двох квадратів із площами S1 і S2 (рис. 32) більшу сторону має той, у якого площа більша, тобто якщо S1 > S2, то SS 12 > . Це очевидне міркування ілюструє таку властивість арифметичного квадратного

ПРИКЛАД 1. Знайдіть значення виразу:

1) (,); 732 2) 124 ,; 3) 081225,; æ 4) 16 49 .

Розв’язання. 1) (,),,. −=−= 737373 2

2) 1212144 42 ,,,. == 3) 0812250812250915135 ,,,,. æ ææ = == 4) 16 49 16 49 4 7 == . ◄

ПРИКЛАД 2. Знайдіть значення виразу:

1) 182 æ ; 2) 24 150 .

Розв’язання. 1) Замінивши добуток коренів коренем з добутку, отримаємо: 182182366 ææ=== . 2) Замінивши частку коренів коренем із частки (дробу), матимемо: 24 150 24

ПРИКЛАД 3. Спростіть вираз: 1) a 14 ; 2) 96 a , якщо a m 0; 3) mn 22 , якщо m l 0, n m 0; 4) a 36 . Розв’язання. 1) За теоремою про арифметичний квадратний корінь із степеня маємо: aa

2) Маємо: 9363 aa = æ . Оскільки за умовою a m 0, то a 30 m . Тоді 933633 aaa ==− æ .

3) Маємо: mnmn 22 = æ . Оскільки за умовою m l 0, то | m | = m. Оскільки n m 0, то | n | = –n.

Отже, mnmnmn æ =⋅−=−().

4) Маємо: aa 3618 = .

Оскільки a180 l , то aaa 361818 == . ◄

ПРИКЛАД 4. Знайдіть значення виразу:

1) 371222 ; 2) 8648 æ ; 3) 16904,,. æ

Розв’язання. 1) Перетворивши підкореневий вираз за формулою різниці квадратів, отримуємо: 37123712371225495735 22−=−+=== ()(). ææ 2) Подавши підкореневий вираз у вигляді

a 2? 2. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний

із степеня. 3. Сформулюйте теорему про арифметичний квадратний корінь з добутку. 4. Сформулюйте теорему

що невід’ємні числа a1 і a2 такі, що a1 > a2. Порівняйте

147

470.° Знайдіть значення виразу:

1) a 2 , якщо a = 4,6; –18,6; 3) 016,, c якщо c = –2; 5. 2) b 4 , якщо b = –3; 1,2;

471.° Обчисліть значення виразу:

1) 925 æ ; 9) 2564036 ææ ,;

2) 162500 æ ; 10) 0010812500 ,,; ææ

3) 06436,; æ 11) 81 100 ;

4) 400144 æ ,; 12) 49 256 ;

5) 009004,,; æ 13) 3 13 36 ;

6) 625016,,; æ 14) 32 1 16 14 25 æ ;

7) 6324 æ ; 15) 169 3681 æ . 8) 7228 æ ; 472.° Чому дорівнює значення виразу:

1) 3681 æ ; 5) 036121,,; æ 9) 2250041600 ,,; ææ 2) 90049 æ ; 6) 5326 æ ; 10) 13 4 9 ; 3) 16025 æ ,; 7) 4342 æ ; 11) 1 7 9 4 25 æ ;

4) 9169 æ ,; 8) 2562 æ ; 12) 1 16 9 25 æ ? 473.° Знайдіть значення виразу: 1) 123 æ ; 4) 00091000 ,; æ 7) 241 2 3 ,; æ 2) 322 æ ; 5) 200018 æ ,; 8) 2 11 1 11 8 ææ ; 3) 1850 æ ; 6) 13226 ææ ; 9) 2323 353 æææ .

474.° Знайдіть значення виразу: 1) 273 æ ; 4) 0550,; æ 2) 182 æ ; 5) 128 3 7 æ ,; 3) 10121 æ ,; 6) 5252 333 æææ . 475.° Знайдіть значення частки: 1) 75 3 ; 3) 3 48 ; 5) 72 50 ; 7) 63 2 æ ; 2) 98 2 ; 4) 32 02 , , ; 6) 27 147 ; 8) 5 315 æ .

476.° Знайдіть значення виразу: 1) 48 3 ; 2) 150 6 ; 3) 63 07 , , ; 4)

477.• При яких значеннях a виконується рівність: 1) aa 2 = ; 2) aa 2 =− ?

Обґрунтуйте

їх з однокласниками й однокласницями.

478.• При яких значеннях a і b виконується рівність: 1) abab = æ ; 3) −=− abab æ ? 2) abab =−− æ ;

Обґрунтуйте ваші відповіді та обговоріть їх з однокласниками й однокласницями.

479.• Знайдіть значення виразу, подавши попередньо підкореневий вираз у вигляді добутку квадратів раціональних чисел: 1) 1832 æ ; 4) 7548 æ ; 7) 2712,,; æ 2) 898 æ ; 5) 28850 æ ; 8) 8045 æ ; 3) 36144,,; æ 6) 4572,; æ 9) 33297 æ .

480.• Знайдіть значення виразу: 1) 18200 æ ; 3) 14409,,; æ 5) 12532,; æ 2) 3604,,; æ 4) 1352 æ ; 6) 10827 æ .

481.• Знайдіть значення виразу:

1) 414022 ; 3) 857522 ,,; 5) 155134 84 22 ;

2) 145144 22 ; 4) 218182 22 ,,; 6) 13986 985455 22 22 ,, .

482.• Знайдіть значення виразу:

1) 6832 22 ,,; 2) 985975 22 ,,; 3) 98 22816422.

483.• Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака кореня: 1) b2 ; 2) 042,; c 3) a 6 ; 4) m 8 .

484.• Замініть вираз тотожно рівним, який не містить знака

кореня: 1) 122,; x 2) y 4 ; 3) n 10 .

485.• Спростіть вираз:

1) m 2 , якщо m > 0;

2) n 2 , якщо n < 0;

3) 162 p , якщо p l 0;

4) 0362,, k якщо k m 0;

5) c 12 ;

6) 02514,, b якщо b m 0;

7) 8142 xy , якщо y l 0;

8) 001610,, ab якщо a m 0, b l 0;

9) 126418 ,, xx якщо x m 0; 10) abc abc 122236 4810, якщо b < 0;

11) 05196568 ,,, mmn якщо m m 0. Як ви думаєте, чому в прикладі 5) не вказано знак значень змінної с,

1) 916 a ; 3) 542 x , якщо x m 0; 2) 0816,, d якщо d l 0; 4) 0110010 ,, z якщо z l 0;

5) pq 68 , якщо p l 0;

6) 253438 mn , якщо m m 0, n m 0;

7) ababc241822 , якщо b l 0, c m 0.

487.•• Які з наведених рівностей виконуються при всіх дійсних значеннях a:

1) aa 2 = ; 3) aa 63 = ;

2) aa 42 = ; 4) aa 84 = ?

Обґрунтуйте ваші відповіді та обговоріть їх з однокласниками й однокласницями.

488.•• При яких значеннях a виконується рівність:

1) aa 105 = ; 3) aa 2 2 = () ;

2) aa 105 =− ; 4) aa 2 2=−() ?

Обґрунтуйте ваші

їх з однокласниками й однокласницями.

489.•• Побудуйте графік функції:

1) yxx =− 2 , якщо x m 0; 3) yxx = æ ; 2) yxx =+22; 4) y x x =+ 2 2 3.

490.•• Побудуйте графік функції:

1) yxx =−22, якщо x l 0; 2) yxx =−− æ .

491.* При якому значенні x виконується рівність: 1) xx24 =− ; 2) xx 26=− ; 3) 23 2 xx=+ ?

492.* Розв’яжіть рівняння: 1) xx28 =+ ; 2) xx2610 =− .

15. Властивості арифметичного квадратного кореня 151

продано на 70 000 грн. Скілько коробок цукерок було продано?

494. На час різдвяного розпродажу, що триває з 20 по 31 грудня, у магазині одягу встановили знижку в розмірі 35 % на светри старої колекції.

1)Скільки кошт ує свет р під час розп родажу, якщо 19 грудня його ціна складала 3360 грн?

2)Роздивляючись придбаний светр, покупець випадково знайшов цінник за 10 грудня, за яким вартість светра становила 2400 грн. Як ви думаєте, чому ціна на светр зросла в період з 10 по 19 грудня?

3)Скільки відсотків становила знижка на светр під час різдвяного розпродажу, якщо за початкову взяти ціну светра 10 грудня?

495. У магазині проходить акція: купуючи дві однакові пляшки соняшникової олії, третю таку пляшку можна придбати зі знижкою 30 %. Яку найбільшу кількість та %. Яку найбільшу кількість та%. Яку найбільшу кількість таких пляшок можна придбати, маючи 700 грн, якщо одна пляшка соняшникової олії коштує 60 грн? Радимо створити групу

ваших однокласників і однокласниць для роботи над проєктом, у якому ви зможете дізнатися, як працюють націнки та знижки, навчитися виявляти несумлінні знижки.

ВПРА ВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

496. У таблиці подано інформацію про сумарну кількість медалей, здобутих українськими школярами та школярками протягом 2020–2024 рр. на Міжнародних фізичних олімпіадах. Побудуйте стовпчасту діаграму, що відображає цю інформацію.

Рік 2020 2021 2022 2023 2024

Кількість медалей 2 5 4 5 5

497. Знайдіть значення виразу

при a = 4,5.

16. Тотожні перетворення виразів,які містять квадратні корені 153

5) З умови випливає, що a2 > 0. Оскільки підкореневий вираз має бути невід’ємним, то отримуємо, що b l 0. Тоді ababbabbabb 2322 == =− æ . ◄

ПРИКЛАД 2. Внесіть множник під знак кореня:

1) 27; 2) a 7; 3) 3 3 b b ; 4) cc 7 .

Розв’язання. 1) −=−=− 274728 æ .

2) Якщо a l 0, то aaa 77722 == æ ; якщо a < 0, то aa a77722 =−=− æ .

3)

=−− æ æ .

4) З умови випливає, що c l 0. Тоді ccccc 7279 == æ . ◄

ПРИКЛАД 3. Спростіть вираз: 1) 5424600 aaa +− ;

2) 32323 + ( ) (); 3) 732105105 2 ( ) −+() (). Розв’язання. 1) Маємо: 542460096461006 aaaaaa +−=+−= æææ =+−=+−=−=− 3626106632106556 aaaa a a ()(). æ 2) 3232363343236363 2 + ( ) () =−+− () =+−= .

3) Застосовуючи формули скороченого множення (квадрат двочлена й добуток різниці та суми двох виразів), отримаємо: 7321051057273232 2 2 2 ( ) −+() () =−+ ( ) ææ () () ( ) =−+−−=− 105494221810562422 22 (). ◄

4. Розкладіть на

вираз: 1) a2 – 2; 2) b – 4, якщо b l 0; 3) 9655 cc−+ ; 4) aa + ; 5) 36 + ; 6) 3515. Розв’язання. 1) Подавши

отримаємо: aa aa 22 2 2222−=− () =−() + () .

2) Оскільки за умовою b l 0, то bbbb −= () −=−() + () 4422 2 .

3) Застосуємо формулу квадрата різниці: 96553235535 222 cccc c −+= ( ) + () =−

4)

3) Оскільки за умовою a > 0 і b > 0, то чисельник і знаменник даного дробу можна розкласти на множники й отриманий дріб скоротити: ab aabb abab ab ab ab −+ −+ + = ()() () = 22. ◄

Звільнитися від ірраціональності в знаменнику дробу означає

ПРИКЛАД 8. Спростіть вираз 1263 + . Розв’язання. Подавши підкореневий вираз у вигляді квадрата суми, отримуємо: 12639233333 22 +=++ () =+() = æ =+=+3333. ◄

ВПРАВИ

499.° Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 8; 4) 54; 7) 275; 10) 048,; 2) 12; 5) 490; 8) 108; 11) 450; 3) 32; 6) 500; 9) 072,; 12) 36300.

500.° Спростіть вираз: 1) 2 3 45; 2) 1 2 128; 3) 1 10 200; 4) 0054400,.

501.° Винесіть множник з-під знака кореня:

1) 27; 4) 125; 7) 2018,; 10) 3 7 98;

2) 24; 5) 1 8 96; 8) 4 9 63; 11) 10003,;

3) 20; 6) 04250,; 9) 081250,; 12) 071000,.

502.° Внесіть множник під знак кореня:

1) 72; 4) 1014; 7) 1 4 32; 10) 0310,; b

2) 313; 5) 58; 8) 2 3 54; 11) 3 1 3 ;

3) 217; 6) 6 a ; 9) 1 8 128a ; 12) 2 9 27 28 .

503.° Внесіть множник під знак кореня:

1) 26; 3) 113; 5) 73c ; 7) 8 8 n ;

2) 92; 4) 12 b ; 6) 1007,; m 8) 1 3 18 p .

504.° Спростіть вираз: 1) 435aaa +− ; 3) 533cdcd +−+ ; 2) 628bbb +− ; 4) 57545 +− .

505.° Спростіть вираз: 1) 32aa ; 3) 96238336 −+− .

2) ccc +−1014;

506.° Спростіть вираз: 1) 92549 aaa +− ; 2) 6436 1 6 bb ; 3) 20040316081 1 3 ,,,; ccc −+

4) 041001512225 4 9 ,,,. mm m +−

507.° Спростіть вираз: 1) 24616625 xxx +− ; 2) 300906144 18 11 121 36 ,,. yyy −+

508.• Спростіть вираз: 1) 8232; 4) 250085; 2) 6327 ; 5) 577000528,; 3) 9636 ; 6) 2204506125 1 3 ,.

509.• Раціональним чи ірраціональним є значення виразу: 1) 48643; 2) 1629227 −+ ? Обґрунтуйте ваші відповіді та обговоріть їх з однокласниками й однокласницями.

510.• Спростіть вираз: 1) 4700277 ; 4) 51273; 2) 7563; 5) 37242298 −+ ; 3) 25082; 6) 1 3 2 9 108363243 +− .

511.• Спростіть вираз: 1) 2508 + (); 3) 35435( )æ ; 2) 3123()æ ; 4) 22318232 1 4 −+ 

512.• Спростіть вираз:

1) 7728 (); 3) 4375433 −+ ( )æ ; 2) 18722 + ()æ ; 4) 6006246 +− ( )æ .

513.• Виконайте множення:

1) 2331 () + (); 6) yy() + () 77; 2) 25225 + () ( ); 7) 42232342( ) + ( );

3) abab + () (); 8) mn + ()2 ;

4) bcbc() + (); 9) ab ()2 ; 5) 4343 + () (); 10) 233 2 ( ) .

514.• Виконайте множення:

1) 73371 + () ( ); 5) 55() + ()xx ; 2) 4232253( ) + ( ); 6) 19171917 + () (); 3) pqpq ( ) + ( ) ; 7) 62 2 + () ; 4) 613613 () + (); 8) 3215 2 ( ) .

.

 515.• Чому дорівнює значення виразу: 1) 2747 2 + () ; 2) 6362 2() + ?

 516.• Знайдіть значення виразу: 1) 3565 2 + () ; 2) 122286 2 ( ) + .

517.• Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 4 2 ; 3) 18 5 ; 5) a bb ; 7) 7 7 ; 2) 12 6 ; 4) m n ; 6) 5 15 ; 8) 24 53 .

518.• Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) a 11 ; 3) 5 10 ; 5) 2 3 x . 2) 18 6 ; 4) 30 15 ;

519.• Розкладіть на множники вираз: 1) a2 – 3; 8) bb++69; 2) 4b2 – 2; 9) 323++cc; 3) a – 9, якщо a l 0; 10) 22 + ; 4) m – n, якщо m l 0; n l 0; 11) 677; 5) 16x – 25y, якщо x l 0; y l 0; 12) aa ; 6) aa−+21; 13) bb + 3; 7) 42849 mmnn −+ , 14) 155. якщо m l 0; n l 0; Як ви думаєте, чому

не вказано? Обґрунтуйте вашу думку та обговоріть її з однокласниками й

класницями.

520.• Розкладіть на множники вираз: 1) 15 – x2; 5) abab −+8162 ; 2) 49x2 – 2; 6) 55 + ; 3) 36p – 64q, якщо p l 0; q l 0; 7) 3 pp; 4) aa−+44; 8) 1232 + .

521.• Скоротіть дріб:

1) a a 27 7 + ; 5) 57 2549 ab ab ; 9) 156 510 ;

2) 3 32 b b ; 6) 1009 103 2 ab ab + ; 10) 1313 13 ;

3) c c 9 3 ; 7) 21 63 ; 11) aabb ab ++ + 2 ;

4) ab ab + ; 8) 3510 72 + + ; 12) 44 2 2 bbcc bc −+ .

522.• Скоротіть дріб:

1) x x 25 5 ; 4) 105 5 + ; 7) ab aabb −+ 2 ;

2) a a + 2 4 ; 5) 2323 23 ; 8) bb b −+816 4 .

3) a a + 3 3 ; 6) 2428 5463 ;

523.• Винесіть множник з-під знака кореня:

1) 32 a , якщо a l 0; 3) 124 a ; 2) 52 b , якщо b m 0; 4) c 5 .

524.• Винесіть множник з-під знака кореня: 1) 1812 x ; 2) y 9 .

525.• Спростіть вираз: 1) 985032 −+ ; 4) 5220380 aaa −+ ; 2) 38128162 1 3 +− ; 5) abab a 35 2 , якщо a > 0; 3) 073007108 3 49 2 3 ,; −+ 6) ccccc 532 45+− .

526.• Спростіть вираз: 1) 05123270475 ,,; −+ 3) 815739 6 aaaa a −+ .

2) 25286310007 2 3 ,,; bbb +−

527.• Доведіть, що:

1) 114772 +=+ ; 2) 148386 +=+ . Як ви думаєте, чи існує

528.• Спростіть вираз:

1) 231272( ) + (); 4) 74323 2 + ( ) () ;

2) 5235 22() −+() ; 5) 625625 2 +−− ( ) .

3) 174174 −+ æ

2) 2822 621 a a ;

ab ab + + 33 ; 3) aabb ab ++44 4 , якщо a > 0, b > 0; 6) mm m 27 3 . Як ви думаєте,

класницями. 531.• Скоротіть дріб: 1) ab ba1111 ; 2) 210225 675 aabb ab ++ ,

aa aa −+ + 24 8 .

532.

1) 2 21 + ; 3) 15 1512 ; 5) 1 ab ; 2) 4 73 + ; 4) 19 251 ; 6) 31 31 + .

533.

534.• Доведіть рівність: 1) 1 526 1 526 10 −+ += ; 2) 2 324 2 324 8 +− −=− ; 3) 21 21 21 21 42 + + −= .

535.• Доведіть, що значенням виразу є раціональне число:

1) 6 323 6 323+− + ; 2) 116 116 116 116 + + + .

536.• Спростіть вираз: 1) a a a a 2 44 2 ; 4) a a a a + 416 ; 2) m m m m + + 1 2 3 ; 5) a abb b ba + ; 3) y xyy x xxy + + + 44 ; 6) aa b b a + + æ 22 .

537.• Спростіть вираз: 1) a a a a + 3 1 4 ; 3) x yy x y 236 :;

2) a aab b abb + + 11 ; 4) c c c c 525 3 :.

§ 2. КВАДРАТНІ

538.•• Винесіть множник з-під знака кореня:

1) m 9 ; 5) 45314 xy , якщо y < 0;

2) ab413 , якщо a ≠ 0; 6) 6429 ab , якщо a > 0;

3) 46xy , якщо x < 0; 7) 2421118 mb , якщо b < 0; 4) mn 77 , 8) mnp 2215 , якщо m m 0, n m 0; якщо m > 0, n < 0.

Чи викликало у вас здивування, чому в прикладі 2) наявне обмеження a ≠ 0? Обговоріть цю ситуацію в класі. 539.•• Винесіть множник з-під знака кореня:

1) m 19 ; 4) ab99 ;

2) ab2324 , якщо b ≠ 0; 5) 271534 xy , якщо y < 0; 3) 492ab , якщо a < 0; 6) 50667 mnp , якщо m > 0, n > 0.

540.•• Внесіть множник під знак кореня: 1) a 3; 5) xyxy 2 , якщо x m 0; 2) bb ; 6) 2 2 p p ;

3) cc 5 ; 7) 2 2 p p ; 4) mn , якщо m l 0; 8) ab a b 2 , якщо a l 0.

541.•• Внесіть множник під знак кореня: 1) m 7, якщо m l 0; 4) xyxy 45 , якщо y m 0;

2) 36 n , якщо n m 0; 5) 7 3 a a ;

3) pp 3 ; 6) 5 7 5 ab a b , якщо a m 0, b > 0.

542.•• Спростіть вираз: 1) a a a a a       + 11 :; 2) ab b b ab a b + + 

    :;

164

551. На діаграмі (рис. 34) наведено

552. Робітниця мала виготовляти щодня 12 деталей. Однак вона виготовляла щодня 15 деталей, і вже за 5

кінця строку роботи їй залишилося виготовити 30 деталей. Скільки деталей мала виготовити робітниця?

553. У саду 60 % дерев становлять вишні та сливи, із них 30 % сливи. Який відсоток усіх дерев саду становлять сливи?

554. Знайдіть значення виразу () a aa 33 25 æ при a = 1 3 . 555. Число

Функція yx =

17. Функція yx = та її графік

Якщо площа квадрата дорівнює x, то його сторону y можна знайти за формулою yx = . Зміна площі x квадрата спричиняє зміну його сторони y.

Кожному значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y. Отже, залежність змінної y від змінної x є функціональною, а формула yx = задає функцію.

Оскільки у виразі x допустимими значеннями змінної x є всі невід’ємні числа, то областю визначення функції yx = є множина невід’ємних чисел.

Вираз x не може набувати від’ємних значень, тобто

жодне від’ємне число не може належати області значень розглядуваної функції. Покажемо, що функція yx = може набувати будь-яких

невід’ємних значень, наприклад 7,2.

Справді, існує таке значення аргументу x, що x = 72,. Це значення дорівнює 7,22. На цьому прикладі ми бачимо, що для будь-якого невід’ємного числа b завжди знайдеться

таке значення x, що xb = . Таким значенням аргументу x є число b2 .

Отже, областю значень функції yx = є множина невід’єм-

них чисел.

Зазначимо, що коли x = 0, то y = 0. Ураховуючи область визначення та область значень функції yx = , можна зробити висновок, що її графік розташований тільки в першій координатній чверті. У таблиці наведено деякі значення аргументу та відповідні їм значення функції yx = . x 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 y 0 0,5 1 1,5

166

§ 2. КВАДРАТНІ

Позначимо на координатній площині точки, координати (x; y) яких наведено в таблиці (рис. 35).

0 1 1 x y 0 1 1 x y

Рис. 35 Рис. 36

Чим більше позначити точок, координати яких задовольняють рівняння yx = , тим менше отримана фігура

167 17. Функція yx = та її графік

У таблиці наведено властивості функції yx = , вивчені у цьому пункті.

Область визначення

Область значень

Множина невід’ємних чисел

Множина невід’ємних чисел

Графік Вітка параболи

Нуль функції (значення аргументу, при якому значення функції дорівнює 0) x = 0

Порівняння значень функції Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції

ПРИКЛАД 1. Розв’яжіть

168

§ 2. КВАДРАТНІ

ПРИКЛАД 3. При яких значеннях x виконується нерівність x < 3?

Розв’язання. Запишемо дану нерівність так: x < 9. Оскільки більше значення функції yx = відповідає більшому значенню аргументу, то можна зробити висновок, що x < 9. Ураховуючи, що вираз x має зміст тільки при x l 0, отримуємо, що дана нерівність виконується при всіх x, які задовольняють нерівність 09 m x < . ◄

ПРИКЛАД 4. Спростіть вираз 5253 22() +−() . Розв’язання. Оскільки 52 > і 53 < , то 520 −> і 530 −< . Звідси отримуємо: 5253525352351 22() +−() =−+−=−+−= . Відповідь: 1. ◄

функції yx = ? 4. У якій координатній чверті розташований

a і b .

7. Відомо, що ab < . Порівняйте числа a і b.

557.° Функцію задано формулою yx = . Заповніть таблицю: x 0,01 4 1600 y 9 11 30

558.° Функцію задано формулою yx = .

1) Чому дорівнює значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 0,16; 64; 1,44; 3600? 2) При якому значенні аргументу значення функції дорівнює: 0,2; 5; 120; –4?

559.° Не виконуючи побудови, визначте, через які з даних точок проходить графік функції yx = : A (36; 6), B (4; –2), C (0,81; 0,9), D (–1; 1), E (4900; 70). Проведіть у класі

169 17. Функція yx = та її графік

560.° Через яку з даних точок проходить графік функції yx = :

1) A (16; 4); 3) C (3,6; 0,6); 2) B (49; –7); 4) D (–36; 6)?

561.° Порівняйте числа:

1) 86 і 78; 4) 6 7 і 1; 7) 41 і 210;

2) 14, і 16,; 5) –7 і 48; 8) 063 1 3 , і 11,;

3) 5 і 26; 6) 32 і 23; 9) 75 і 43.

562.° Порівняйте числа:

1) 1 3 і 1 5 ; 3) 33 і 6; 5) 30 і 27;

2) 9 і 82; 4) 35 і 42; 6) 7 1 7 і 1 2 20.

563.• Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки

перетину графіка функції yx = і прямої: 1) y = 1; 2) y = 0,8; 3) y = –6; 4) y = 500.

564.• Запишіть у порядку спадання числа: 8, 62, 7,9, 65, 8,2.

565.• Запишіть у порядку зростання числа 42 В, 6,1 О, 27 А, 6 Н, 33 С, 37 К, 5,9 Е. Букви, що від-

повідають даним числам, утворюють прізвище сучасної української біологині, першої і поки єдиної жінки, яка здійснила дві цілорічні експедиції на станцію «Академік Вернадський» в Антарктиді. Знайдіть в інтернеті відомості про цю науковицю, зокрема про її

566.• Яке з даних чисел

8 < x < 9: 1) 53; 2) 72; 3) 83; 4) 221? Обговоріть

§ 2. КВАДРАТНІ

567.• На координатній прямій позначили точку A (рис. 40), координата якої дорівнює одному з даних чисел: 1) 3; 2) 5; 3) 15; 4) 17. Укажіть це число. Обґрунтуйте вашу відповідь та обговоріть її в класі.

012345

Рис. 40 Рис. 41

568.• На координатній прямій позначили точку M (рис. 41), координата якої дорівнює одному з даних чисел: 1) 3; 2) 6; 3) 11; 4) 2. Укажіть це число.

569.• Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число: 1) 3; 3) 098,; 5) 115; 2) 13; 4) 59; 6) 7619,?

570.• Між якими двома послідовними цілими числами розташоване на координатній прямій число: 1) 19; 2) 29; 3) 160; 4) 86; 5) 305,?

571.• Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами: 1) 3 і 68; 3) 31 і –2,3; 2) 7 і 77; 4) 42 і 2,8.

572.• Укажіть усі цілі числа, які розташовані на координатній прямій між числами: 1) 3 і 13; 2) 10 і 90; 3) 145 і 47.

573.• При яких значеннях x виконується нерівність: 1) x l 2; 2) x < 4; 3) 69 m x < ?

574.• При яких значеннях x виконується нерівність: 1) x m 8; 2) x > 7; 3) 1020 mm x ?

Функція yx = та її графік

575.• Розв’яжіть графічно рівняння:

1) xx = ; 3) xx=+ 2; 5) x x = 8 ; 2) xx = 2 ; 4) xx=+0505,,; 6) xx =−1505,,.

576.• Розв’яжіть графічно рівняння: 1) xx=−− 1; 2) xx =−2; 3) x x = 1 .

577.•• Спростіть вираз: 1) 12 2() ; 3) 253 2 ( ) ; 2) 67 2() ; 4) 3233 22() +−() .

578.•• Спростіть вираз: 1) 54 2() ; 2) 8323 22() () .

579.•• Розв’яжіть рівняння xx =− 2 .

580.•• Дано функцію fx x xx x (),, ,. =

1) Знайдіть: f (–8), f (0), f (9).

2) Побудуйте графік даної функції.

581.•• Дано функцію fx xx

1) Знайдіть: f (–2), f (0), f (1), f (4).

2) Побудуйте графік даної функції.

582.•• Знайдіть область визначення, область значень і нулі функції yx =− . Побудуйте графік даної функції.

583.•• Побудуйте графік функції y x x = .

584.* Спростіть вираз: 1) 827; 3) 1263; 2) 526; 4) 38122.

585.* Спростіть вираз: 1) 945; 2) 7210; 3) 37203.

590.

на

на 10 %. У магазині «Модний

одразу знизили на 20 %. У якому

було 90 кг яблук, а в другому 75 кг. Після того як з

другого, у першому залишилось у 2 рази менше яблук, ніж

№ 4 «Перевірте

594. Розв’яжіть рівняння:

1) x2 = 0; 6) 0,2x2 + 2 = 0;

2) x2 – 1 = 0; 7) 1 6 250xx−= ;

3) x2 + 5x = 0; 8) x2 – 2x + 1 = 0; 4) –3x2 + 12 = 0; 9) 9x2 + 30x + 25 = 0.

5) 5x2 – 6x = 0;

595. Натуральні числа від 1 до 37 записано в рядок так, що сума будь-яких перших

наступне за ними число. Яке число записано на третьому місці, якщо на першому

число 37, а на другому 1? ЗАВДАННЯ № 4 «ПЕ РЕВІРТЕ СЕБЕ » В

Завдання 1–11 мають по чотири варіанти відповіді, з яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний варіант відповіді.

1. Яке з даних тверджень хибне? А) –5 ціле число; Б) –5 раціональне число; В) –5 ірраціональне число; Г) –5 дійсне число.

2. Яке із чисел є ірраціональним? А) 4; Б) 04,; В) 004,; Г) 400.

3. Графіком якої з функцій є парабола?

А) y = 2x; Б) y = x 2; В) y x = 2 ; Г) y x = 2 .

4. На якому з рисунків зображено графік функції yx = ?

5. Який із наведених виразів не має змісту? А) 2; Б) 2; В) 2; Г) (). 22

6. Обчисліть значення виразу 73 x при x = 4. А) 5; Б) –5; В) 25; Г) –25.

7. Чому дорівнює значення виразу 36081 æ ,? А) 6,9; Б) 54; В) 5,4; Г) 0,54.

8. Знайдіть значення виразу

А) 2; Б) 4; В) 2,5; Г) 0,4.

9. Спростіть вираз 91664 aaa −+ . А) 15 a ; В) 7 a ; Б) 15a; Г) 7a.

10. Звільніться від ірраціональності

дробу 12 2 . А) 2; В) 62; Б) 42; Г) 102.

11. Скоротіть дріб a aa−+ 2 222 . А) a a + 2 2 ; В) 1; Б) a a + 2 2 ; Г) a a + 2 2 .

них цифрами, доберіть один правильний,

позначений буквою.

12. Установіть відповідність між виразом (1–3) та його значенням (А–Д). Вираз Тотожно рівний вираз

1) 545 æ 2) 455455() + () 3) 54545 2() А) 5 Б) 5 В) 40 Г) 15 Д) 55

1.° Знайдіть значення виразу: 1) 04250081 1 3 ,; 3) 32210 æ ; 2) 04964,; æ 4) 9010 72 2 æ .

2.° Розв’яжіть рівняння: 1) x 211 = ; 3) x = 16; 2) x 29 =− ; 4) x =−4.

3.° Порівняйте числа: 1) 37 і 215; 2) 1 6 72 і 1 4 48.

4.• Спростіть вираз: 1) 45620745 −+ ; 3) 325 2 ( ) ; 2) 27123 + ()æ ; 4) 437437( ) + ( ).

5.• При яких значеннях x має зміст вираз: 1) 5x ; 2) y 6 ; 3) 1 2 x ? ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО

6.

Скоротіть дріб:

7.• Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 10 35 ; 2) 2 113 .

8.• Винесіть множник з-під знака кореня:

9.•• Спростіть вираз 419195 22() +−() .

Властивості функції y = x2

Область визначення: . Область значень: множина невід’ємних чисел.

Графік: парабола.

Нуль функції: x = 0.

Властивість графіка: якщо точка A (x0; y0) належить графіку функції, то точка B (–x0; y0) також належить графіку.

Квадратний корінь

Квадратним коренем із числа a називають число, квадрат якого дорівнює a.

Арифметичний

Підмножина

Множину B називають підмножиною множини A, якщо

кожний елемент множини B є елементом множини A.

Позначення числових множин

множина натуральних чисел;

множина цілих чисел;

множина раціональних чисел;

множина дійсних чисел.

Зв’язок між числовими множинами

Властивості арифметичного квадратного

Для будь-якого дійсного числа а виконується рівність aa 2 = .

Для будь-якого дійсного числа а і будь-якого натурально-

го числа n виконується рівність aann 2 = .

Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a l 0 і b l 0, виконується рівність abab = æ .

Для будь-яких дійсних чисел а і b таких, що a l 0 і b > 0,

виконується рівність a b a b = .

Для будь-яких невід’ємних чисел a1 і a2 таких, що a1 > a2 ,

виконується нерівність aa 12 > .

Властивості функції yx =

Область визначення: множина невід’ємних чисел.

Область значень: множина невід’ємних чисел.

Графік: вітка параболи.

Нуль функції: x = 0.

Більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції.

1 3 7 x =− є рівнянням першого степеня.

ня 0x = 0, 0x = 2 не є рівняннями першого степеня.

Числа a і b називають коефіцієнтами рівняння першого степеня ax = b.

Те, що множина рівнянь першого степеня є підмножиною множини лінійних рівнянь, ілюструє схема на рисунку 42.

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 179

Означення: Квадратним рівнянням називають рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де x — змінна, a, b і c — деякі числа, причому a ≠ 0.

Числа a , b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння. Число a називають першим або старшим коефіцієнтом, число b другим коефіцієнтом, число c вільним членом.

Наприклад, квадратне рівняння –2x2 + 5x + 3 = 0 має такі

коефіцієнти: a = –2, b = 5, c = 3.

Ліва частина квадратного рівняння є многочленом другого степеня. Тому квадратне рівняння ще називають рівнянням

другого степеня.

Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1,

називають зведеним.

Наприклад, xx2210 +−= , x 2 – 4 = 0, x 2 + 3 x = 0 це зведені квадратні рівняння.

Оскільки у квадратному рівнянні ax2 + bx + c = 0 старший

коефіцієнт не дорівнює нулю, то незведене квадратне рівняння завжди можна перетворити у зведене, рівносильне даному.

Розділивши обидві частини рівняння ax2 + bx + c = 0 на чис-

ло a, отримаємо зведене квадратне рівняння xx b a c a 20 ++= .

Якщо у квадратному рівнянні ax2 + bx + c = 0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Існує три види неповних квадратних рівнянь.

1. При b = c = 0 маємо: ax2 = 0.

2. При c = 0 і b ≠ 0 маємо: ax2 + bx = 0.

3. При b = 0 і c ≠ 0 маємо: ax2 + c = 0. Розв’яжемо неповні квадратні рівняння кожного виду.

1. Оскільки a ≠ 0, то рівняння ax2 = 0 має єдиний корінь x = 0.

2. Рівняння ax2 + bx = 0 подамо у вигляді x (ax + b) = 0. Це рівняння має два корені x1 і x2, один з яких дорівнює нулю, а другий є коренем рівняння першого степеня ax + b = 0.

Звідси x1 = 0 і x b a 2 =− .

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 181 рівняння називають зведеним? 7. Яке квадратне рівняння називають неповним? 8. Які існують види неповних квадратних рівнянь? Які корені має рівняння кожного з видів?

ВПРАВИ

596.° Укажіть серед даних рівнянь квадратні та назвіть, чому дорівнюють старший коефіцієнт, другий коефіцієнт і вільний член кожного з них:

1) x = 0; 6) 3x3 – x2 + 6 = 0; 2) x2 = 0; 7) –2x2 + 7x – 8 = 0; 3) x2 + x = 0; 8) x3 – x – 9 = 0; 4) x2 + 1 = 0; 9) 6 – x2 + 4x = 0; 5) x2 – 4x + 2 = 0; 10) –x2 – 2x + 3 = 0.

597.° Заповніть таблицю:

Квадратне рівняння ax2 + bx + c = 0

7x2 – 2x – 19 = 0 6x – 0,3x2 = 0 1 6 220 x −= x – 8 + x2 = 0 –x2 – x = 0 2,8x2 = 0

Коефіцієнти рівняння a b c

598.° Складіть квадратне рівняння, у якому:

1) старший коефіцієнт дорівнює 6, другий коефіцієнт дорівнює 7, а вільний член дорівнює 2; 2) старший коефіцієнт дорівнює 1,

коефіцієнт дорівнює –8, а вільний член дорівнює 1 3 ;

3) старший коефіцієнт дорівнює –0,5, другий коефіцієнт дорівнює 0, а вільний член дорівнює 2 3 7 ;

4) старший коефіцієнт дорівнює 7,2, другий коефіцієнт дорівнює –2, а вільний член дорівнює 0.

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

599.° Складіть квадратне рівняння, у якому: 1) старший коефіцієнт дорівнює –1, другий коефіцієнт дорівнює –2, а вільний член дорівнює 1,6; 2) старший кое фіцієнт і віл ьний чле н дор івнюють 2, а другий коефіцієнт дорівнює 0.

600.° Подайте дане рівняння у вигляді ax2 + bx + c = 0, укажіть значення коефіцієнтів a, b і c:

1) 6x (3 – x) = 7 – 2x2; 2) x (x + 1) = (x – 3) (7x + 2); 3) (5x – 1)2 = (x + 4) (x – 2); 4) 4x (x + 8) – (x – 6) (x + 6) = 0.

601.° Подайте дане рівняння у вигляді ax2 + bx + c = 0, укажіть

значення коефіцієнтів a, b і c:

1) x (x + 10) = 8x + 3; 2) (x + 2)2 = 2x2 + 4.

602.° Укажіть, які з даних рівнянь є зведеними, і перетворіть незведені рівняння у зведені: 1) x2 – 5x + 34 = 0; 4) 16 – 6x + x2 = 0; 2) 2x2 + 6x + 8 = 0; 5) –x2 + 8x – 7 = 0; 3) 1 3 250xx+−= ; 6) –0,2x2 + 0,8x + 1 = 0.

Обговоріть у класі, чи завжди можна виконати перетворення, про яке йдеться в умові задачі.

603.° Перетворіть дане квадратне рівняння у зведене:

1) 1 6 2230xx−−= ; 3) 3x2 + x + 2 = 0.

2) –4x2 + 20x – 16 = 0;

604.° Які із чисел 1; 0; –3; 2; –10 є коренями рівняння x2 + 9x – 10 = 0?

605.° Доведіть, що:

1) число –1 не є коренем рівняння x2 – 2x + 3 = 0; 2) числа 1 3 і –3 є коренями рівняння 3x2 + 10x + 3 = 0; 3) числа 2 і 2 є коренями рівняння 3x2 – 6 = 0.

606.° Доведіть, що:

1) число –5 є коренем рівняння x2 + 3x – 10 = 0;

2) число 4 не є коренем рівняння 1 4 240xx−= .

607.° Розв’яжіть рівняння: 1) 5x2 – 45 = 0; 3) 2x2 – 10 = 0; 5) 64x2 – 9 = 0; 2) x2 + 8x = 0; 4) 2x2 – 10x = 0; 6) x2 + 16 = 0.

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 183

608.° Розв’яжіть рівняння:

1) x2 + 7x = 0; 3) 3x2 – 6 = 0; 2) 2x2 – 11x = 0; 4) –8x2 = 0.

609.• Розв’яжіть рівняння:

1) (3x – 1) (x + 4) = –4; 2) (2x – 1)2 – 6 (6 – x) = 2x; 3) (x + 2) (x – 3) – (x – 5) (x + 5) = x2 – x.

610.• Розв’яжіть рівняння:

1) (3x – 2) (3x + 2) + (4x – 5)2 = 10x + 21; 2) (2x – 1) (x + 8) – (x – 1) (x + 1) = 15x.

611.• Доведіть, що числа 23 і 23 + є коренями рівняння x2 – 4x + 1 = 0.

612.• Розв’яжіть рівняння:

1) xx x 28 6 = ; 2) xx 22 3 5 1 2 2 −= .

613.• Розв’яжіть рівняння: 1) xxx 2 73 0 + −= ; 2) xx 22 1 6 2 4 1 ++ −=− .

614.• При якому значенні m:

1) число 2 є коренем рівняння x2 + mx – 6 = 0; 2) число –3 є коренем рівняння 2x2 – 7x + m = 0;

3) число 1 7 є коренем рівняння m2x2 + 14x – 3 = 0?

615.• При якому значенні n:

1) число 6 є коренем рівняння x2 – nx + 3 = 0; 2) число 0,5 є коренем рівняння nx2 – 8x + 10 = 0?

616.• Розв’яжіть рівняння, виділивши

частині квадрат двочлена: 1) x2 – 4x + 3 = 0; 3) x2 + 8x + 20 = 0. 2) x2 + 6x – 7 = 0;

617.• Розв’яжіть рівняння, виділивши

квадрат двочлена: 1) x2 – 10x + 9 = 0; 2) x2 + 2x – 3 = 0.

618.• Знайдіть два послідовних натуральних

619.• Знайдіть два послідовних натуральних числа, добуток яких на 80 більший за більше з них.

620.• Знайдіть два послідовних цілих числа, сума квадратів яких дорівнює 1. Проаналізуйте й обговоріть у класі, як зміниться відповідь до задачі, якщо в умові йтиметься про натуральні числа.

621.• Сума квадратів двох послідовних цілих чисел на 17 більша за подвоєне число, більше з них. Знайдіть ці числа.

622.• При якому значенні m не є квадратним рівняння:

1) (m – 4) x2 + mx + 7 = 0; 2) (m2 + 8m) x2 + (m + 8) x + 10 = 0; 3) (m2 – 81) x2 – 6x + m = 0?

623.• При якому значенні m не є квадратним рівняння:

1) (m + 5)x2 – 2mx + 3 = 0; 2) (m2 + 9) + (m + 3)x + 4 = 0?

624.•• Яким числом, додатним чи від’ємним, є відмінний від нуля корінь неповного квадратного рівняння ax2 + bx = 0, якщо:

1) a > 0, b > 0; 3) a > 0, b < 0; 2) a < 0, b > 0; 4) a < 0, b < 0?

625.•• Чи має корені неповне квадратне рівняння ax2 + c = 0, якщо:

1) a > 0, c > 0; 3) a > 0, c < 0; 2) a < 0, c > 0; 4) a < 0, c < 0?

626.•• Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні 3x2 – 2x + 4 + * = 0, щоб утворилося неповне квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0 і 4; 2) –1 і 1?

Порівняйте ваші відповіді з відповідями однокласників і однокласниць. Чи сталося (або могло статись) таке, що до однієї задачі знайдено різні, але правильні відповіді? Обговоріть це в класі. З’ясуйте, скільки розв’язків має кожна задача.

627.•• Яким многочленом можна замінити зірочку в рівнянні x2 + 5x – 1 + * = 0, щоб утворилося неповне квадратне рівняння, коренями якого є числа: 1) 0 і –7; 2) –4 і 4?

628.•• Розв’яжіть рівняння: 1) x2 – 3| x | = 0; 3) x x x 20 −= ; 2) x2 + | x | – 2x = 0; 4) x x x 2220 −= .

18. Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь 185

629.•• Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 7| x | = 0; 3) 20 232 x x x −= .

2) x2 – 6| x | + x = 0;

630.•• При якому значенні a рівняння (a – 2)x2 + (2a – 1) x + a2 – 4 = 0 є: 1) лінійним;

2) зведеним квадратним; 3) неповним незведеним квадратним; 4) неповним зведеним квадратним?

631.•• Визначте, при якому значенні a один із коренів квадратного рівняння дорівнює 0, і знайдіть другий корінь рівняння:

1) x2 + ax + a – 4 = 0;

2) 4x2 + (a – 8) x + a2 + a = 0; 3) ax2 + (a + 3) x + a2 – 3a = 0.

632. Для озеленення району новобудов міськрада виділила кошти на закупівлю 80 саджанців дерев: 50 каштанів по 1400 грн за саджанець і 30 тополь. Середня ціна одного саджанця становить 1325 грн. Скільки коштував один саджанець тополі?

633. Одна ручка коштує 9 грн, а набір із

636.

19. Формула коренів квадратного рівняння 187

Існування коренів рівняння (2) та їхня кількість залежать від знака значення виразу b2 – 4ac. Це значення називають дискримінантом квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 і позначають буквою D, тобто D = b2 – 4ac. Термін «дискримінант»

походить від латинського слова discriminare , що означає «розрізняти», «розділяти».

Тепер рівняння (2) можна записати так: (2ax + b)2 = D. (3)

Можливі три випадки: D < 0, D = 0, D > 0.

1. Якщо D < 0, то рівняння (3), а отже, і рівняння (1) коренів не має. Справді, при будь-якому значенні x вираз (2ax + b)2 набуває тільки невід’ємних значень.

Висновок:

якщо D < 0, то квадратне рівняння коренів не має.

2. Якщо D = 0, то рівняння (3) набуває вигляду (2ax + b)2 = 0.

Звідси 2ax + b = 0; x b a =− 2 .

Висновок:

якщо D = 0, то квадратне рівняння має один корінь x b a =− 2 .

3. Якщо D > 0, то рівняння (3) можна записати у вигляді (). 22 2 axbD += ()

Звідси 2axbD +=− або 2axbD += .

Тоді x bD a = 2 або x bD a = −+ 2 .

Висновок:

якщо D > 0, то квадратне рівняння має два корені x1 і x2: x bD a 1 2 = , x bD a 2 2 = −+ .

Застосовують також коротку форму запису:

Цей запис називають формулою коренів квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.

Отриману формулу можна застосовувати й у випадку, коли D = 0. Маємо:

Під час розв’язування квадратних рівнянь зручно керуватися таким алгоритмом:

• знайти дискримінант D квадратного рівняння;

• якщо D < 0, то у відповіді записати, що коренів немає;

• якщо D l 0, то скористатися формулою коренів квадратного рівняння.

Якщо другий коефіцієнт квадратного рівняння подати у вигляді 2k, то можна користуватися іншою формулою, яка в багатьох випадках полегшує обчислення.

Розглянемо квадратне рівняння ax2 + 2kx + c = 0.

Знайдемо його дискримінант: D = 4k2 – 4ac = 4 (k2 – ac).

Позначимо вираз k2 – ac через D1. Якщо D10 l , то за формулою коренів квадратного рівнян-

ня отримуємо:

ПРИКЛАД 1. Розв’яжіть рівняння: 1) 3x2 – 2x – 16 = 0; 4) x2 – 6x + 11 = 0; 2) –0,5x2 + 2x – 2 = 0; 5) 5x2 – 16x + 3 = 0. 3) x2 + 5x – 3 = 0;

Розв’язання. 1) Для даного рівняння a = 3, b = –2, c = –16. Дискримінант рівняння Dbac=−=−−−=+= 224243164192196 ()(). ææ

Отже, x1 2196 6 214 6 2===− , x2 214 6 8 3 2 3 2 === + .

Відповідь: –2; 2 2 3 .

2) Маємо: D =−−−=−= 24052440 2 ææ(,)().

Отже, дане рівняння має один корінь: x == −±20 1 2.

Зауважимо, що дане рівняння можна розв’язати іншим способом. Помноживши обидві частини рівняння на –2, отримуємо: x2 – 4x + 4 = 0.

Звідси (x – 2)2 = 0; x – 2 = 0; x = 2.

Відповідь: 2.

3) D =−−=+= 5413251237 2 ææ().

Рівняння має два корені: x1 537 2 = , x2 537 2 = −+ .

Відповідь можна записати одним із двох способів: 537 2 ; −+537 2 або −±537 2 .

4) D =−−=−=−< (). 64111364480 2 ææ

Отже, рівняння не має коренів.

Відповідь: коренів немає.

5) Подамо дане рівняння у вигляді 52830 2 xx+−+= æ() і застосуємо формулу коренів для рівняння виду ax2 + 2kx + + c = 0: D1 2 85349=−−=(); æ

Відповідь: 1 5 ; 3. ◄

2. Розв’яжіть рівняння: 1) xx 226160+−= ; 3) 981 25 1 5 1 xx xx −+=+ .

2) xx 2 2 10240 () −= ; Розв’язання. 1) Маємо: xx26160 +−= .

190

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

При x l 0 отримуємо рівняння x2 + 6x – 16 = 0, яке має корені –8 і 2, але корінь –8 не задовольняє умову x l 0.

При x < 0 отримуємо рівняння x2 – 6x – 16 = 0, яке має корені –2 і 8, але корінь 8 не задовольняє умову x < 0.

Відповідь: –2; 2.

2) Оскільки xx() = 2 при x l 0, то шукані корені мають задовольняти дві умови одночасно: x2 – 10x – 24 = 0 і x l 0. У такому разі говорять, що дане рівняння рівносильне сис-

темі xx x 210240 0 −−=

 , . l

Рівняння x2 – 10x – 24 = 0 має

Відповідь: 12. 3) Дане рівняння рівносильне системі 981 10 2 xx x −=

Відповідь: 1 9 . ◄

ПРИКЛАД 3. При якому значенні b має єдиний корінь рівняння:

1) 2x2 – bx + 18 = 0; 2)* (b + 6) x2 – (b – 2) x + 1 = 0?

Розв’язання. 1) Дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю. Маємо: Db b =−=− 224218144 ææ ; b2 – 144 = 0; b = –12 або b = 12.

Відповідь: b = –12 або b = 12.

2) При b = –6 отримуємо лінійне рівняння 8x + 1 = 0, яке має один корінь. При b ≠ –6 дане рівняння є квадратним. Воно має єдиний корінь, якщо його дискримінант дорівнює нулю: D = (b – 2)2 – 4 (b + 6) = b2 – 4b + 4 – 4b – 24 = b2 – 8b – 20.

Маємо: b2 – 8b – 20 = 0, звідси b = –2 або b = 10.

Відповідь: b = –2, або b = 10, або b = –6. ◄

Андрійовича Чайковського (1887–1970).

М. А. Чайковський залишив велику

спадщину. Його роботи

М. А. Чайковський (1887–1970)

1. Значення якого виразу називають дискримінантом квадрат-

рівняння від знака дискримінанта? 3. Запишіть формулу коренів квадратного рівняння. 4. Яким алгоритмом зручно користуватися під час розв’язування квадратних рівнянь?

638.° Знайдіть дискримінант і визначте кількість коренів рівняння: 1) x2 + 2x – 4 = 0; 3) 2x2 – 6x – 3,5 = 0; 2) x2 – 3x + 5 = 0; 4) 5x2 – 2x + 0,2 = 0.

639.° Яке з наведених рівнянь має два корені: 1) x2 + 4x + 8 = 0; 3) 4x2 – 12x + 9 = 0; 2) 3x2 – 4x – 1 = 0; 4) 2x2 – 9x + 15 = 0?

640.° Яке з наведених рівнянь не має коренів: 1) x2 – 6x + 4 = 0; 3) 3x2 + 4x – 2 = 0; 2) 5x2 – 10x + 6 = 0; 4) 0,04x2 – 0,4x + 1 = 0?

192

641.° Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 4x + 3 = 0; 9) 3x2 – 4x – 20 = 0; 2) x2 + 2x – 3 = 0; 10) 10x2 – 7x – 3 = 0; 3) x2 + 3x – 4 = 0; 11) –5x2 + 7x – 2 = 0; 4) x2 – 4x – 21 = 0; 12) –6x2 – 7x – 1 = 0; 5) x2 + x – 56 = 0; 13) –3x2 + 7x + 6 = 0; 6) x2 – 6x – 7 = 0; 14) x2 – 4x + 1 = 0; 7) –x2 + 6x + 55 = 0; 15) 2x2 – x – 4 = 0; 8) 2x2 – 3x – 2 = 0; 16) x2 – 8x + 20 = 0.

642.° Розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 3x + 2 = 0;

6) –2x2 + x + 15 = 0;

2) x2 + 12x – 13 = 0; 7) 6x2 + 7x – 5 = 0;

3) x2 – 7x + 10 = 0; 8) 18x2 – 9x – 5 = 0;

4) x2 – x – 72 = 0; 9) x2 – 6x + 11 = 0;

5) 2x2 – 7x – 4 = 0; 10) –x2 – 8x + 12 = 0.

643.° При яких значеннях змінної є рівними значення:

1) многочленів 6x2 – 2 і 5 – x; 2) двочлена y – 6 і тричлена y2 – 9y + 3; 3) тричленів 4m2 + 4m + 2 і 2m2 + 10m + 8?

644.° При яких значеннях змінної є рівними значення:

1) двочлена 4x + 4 і тричлена 3x2 + 5x – 10; 2) тричленів 10p2 + 10p + 8 і 3p2 – 10p + 11?

645.° Знайдіть корені рівняння:

1) (2x – 5) (x + 2) = 18; 2) (4x – 3)2 + (3x – 1) (3x + 1) = 9; 3) (x + 3)2 – (2x – 1)2 = 16; 4) (x – 6)2 – 2x(x + 3) = 30 – 12x.

646.° Розв’яжіть рівняння: 1) (x – 4)2 = 4x – 11; 2) (x + 5)2 + (x – 7) (x + 7) = 6x – 19.

647.° Знайдіть натуральне число, квадрат якого на 42 більший за дане число.

648.° Знайдіть периметр прямокутника, площа якого дорівнює 70 см2, а одна зі сторін на 9 см більша за другу.

649.° Добуток двох чисел дорівнює 84. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 8 менше від другого.

650.• Розв’яжіть рівняння: 1) 25150 2 xx+−= ; 3) xx 24 8 23 3 1 −+ −=− ; 2) xx26160 () −= ; 4) 4 3 17 9 51 6 22 xxxx ++− −= .

19. Формула коренів квадратного рівняння 193

651.• Розв’яжіть рівняння:

1) xx23240 ++= ; 3) 2 3 3 4 2 1 xxx x ++ −=− .

2) xx232230 −+() += ;

652.• При якому значенні a число 1 4 є коренем рівняння a2x2 + 4ax – 5 = 0?

653.• При якому значенні a число 2 є коренем рівняння x2 – 0,5ax – 3a2 = 0?



654.• Добуток двох послідовних натуральних чисел на 89 більший за їхню суму. Знайдіть ці числа.

 655.• Сума квадратів двох послідовних натуральних чисел дорівнює 365. Знайдіть ці числа.

656. • Від квадратного аркуша картону відрізали смужку у формі прямокутника завширшки 3 см і завдовжки зі сторону квадрата. Площа решти аркуша становить 40 см2. Якою була довжина сторони квадратного аркуша картону?

657.• Від прямокутного аркуша паперу завдовжки 18 см від 18 см від18 см відрізали квадрат, сторона якого дорівнює ширині аркуша. Площа решти прямокутника становить 72 см2. Якою була ширина аркуша паперу?

658.• Знайдіть катети прямокутного трикутника, якщо один із них на 14 см менший від другого, а гіпотенуза дорівнює 34 см.

659.• Знайдіть сторони прямокутника, якщо їхня різниця дорівнює 31 см, а діагональ прямокутника дорівнює 41 см.

660.• Доведіть, що коли старший коефіцієнт і вільний член квадратного рівняння мають різні знаки, то рівняння має два корені.

661.• (Стародавня індійська задача.) На дві зграї розділившись, Мавпи в гаї веселились. Одна восьма їх в

кущах потішно грали. А дванадцять на ліанах То висіли, то стрибали. Разом скільки, ти дізнайся, Мавп було у тому гаї?

662.•• Знайдіть три послідовних непарних натуральних числа, якщо квадрат першого з них на 33 більший за подвоєну суму другого та третього.

194

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

663.•• Знайдіть чотири послідовних парних натуральних числа, якщо сума першого та третього чисел у 5 разів менша від добутку другого та четвертого чисел.

664.•• У турнірі з футболу було зіграно 36 матчів. Скільки команд брало участь у турнірі, якщо кожна команда зіграла по одному разу з кожною з решти команд?

665.•• Скільки сторін має многокутник, якщо в ньому можна провести 90 діагоналей?

666.•• Розв’яжіть рівняння:

1) | x2 + 7x – 4 | = 4; 4) x x x 2 42 120+−= ;

2) 5x2 – 8 | x | + 3 = 0; 5) xx 228150−+= ;

3) x | x | + 6x – 5 = 0; 6) xx 224120+−= .

667.•• Розв’яжіть рівняння:

1) | x2 + 10x – 4 | = 20; 3) x x x 3 14150−−= ;

2) x | x | + 12x – 45 = 0; 4) xx 22890−−= .

668.•• Розв’яжіть рівняння:

1) xx xx 2280 3 8 3 8 ++=+ ; 2) xx 2 2 8330 + () −= .

Обговоріть у класі, як впливає у задачі 1) наявність виразу 3 8 x на відповідь.

669.•• Розв’яжіть рівняння: 1) 651 21 1 1 1 xx xx +−=− ++ ; 2) 51430 2 2 xx() −= .

670.•• При яких значеннях b має єдиний корінь рівняння: 1) 2x2 + 4x – b = 0; 2) 3x2 – bx + 12 = 0?

671.•• При яких значеннях b має єдиний корінь рівняння: 1) 6x2 – 18x + b = 0; 2) 8x2 + bx + 2 = 0?

672.•• Доведіть, що при будь-якому значенні p має два корені рівняння: 1) 4x2 – px – 3 = 0; 2) x2 + px + p – 2 = 0.

673.•• Доведіть, що при будь-якому значенні m не має коренів рівняння: 1) x2 + mx + m2 + 1 = 0; 2) x2 – 2mx + 2m2 + 9 = 0.

674. •• Доведіть, що при будь-якому значенні b рівняння x2 + bx – 7 = 0 має два корені.

675.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння:

1) x2 + (3a + 1) x + 2a2 + a = 0; 2) x2 – (2a + 4) x + 8a = 0; 3) a2x2 – 24ax – 25 = 0; 4) 3 (2a – 1) x2 – 2 (a + 1) x + 1 = 0.

676.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) x2 – (2a – 5) x – 3a2 + 5a = 0; 3) ax2 – (a + 1) x + 1 = 0. 2) x2 + (3a – 4) x – 12a = 0;

677.* При яких значеннях b має єдиний корінь рівняння:

1) bx2 – 6x – 7 = 0; 2) (b + 5) x2 – (b + 6) x + 3 = 0; 3) (b – 4) x2 + (2b – 8) x + 15 = 0?

678.* При яких значеннях b має єдиний корінь рівняння:

1) bx2 + x + b = 0; 2) (b + 3) x2 + (b + 1) x – 2 = 0?

679. Федір і Олеся їхали в одному поїзді. Федір

шостий вагон із хвоста поїзда. Виявилося, що вони їдуть

680. У книжці бракує кількох аркушів. Ліва сторінка розвороту має номер 24, а права 53. Скільки аркушів бракує між цими сторінками?

681. На координатній площині позначили точку M (рис. 44). Графіки яких з даних функцій проходять через точку M і не проходять через початок координат: 1) y = x2; 2) y = –2x; 3) y x =− 8 ; 4) y = 2 – x?

682. Спростіть вираз ab a b ab ab ab + + +

683. Розташуйте в порядку зростання числа 17,32 і 4.

684. Робітниця мала виготовляти щодня 10 деталей. Проте вона виготовляла щодня 12 деталей, і вже за 2 дні до закінчення терміну роботи їй залишилося виготовити 6 деталей. Скільки деталей мала виготовити робітниця?

685. Є брухт сплавів двох сортів, які містять 5 % і 45 % нікелю відповідно. Скільки тонн брухту кожного із

сортів треба взяти, щоб одержати 120 т сплаву, який містить 30 % нікелю?

686. Розв’яжіть рівняння, знайдіть суму

рівняння: 1) x2 – 4x – 12 = 0; 2) x2 + 9x + 14 = 0.

687. Заповніть таблицю,

7x2 – 8x + 1 = 0

Теорема 20.1

Доведення. Умовою теореми передбачено, що дане квадратне рівняння має

може бути від’ємним. Нехай D > 0. Застосувавши формулу

рівняння, запишемо:

Маємо:

Нехай D = 0. У цьому

Маємо:

Наслідок:

Іншими словами, сума коренів зведеного

Доведення

чатку число a, а потім число b. Отримуємо: a2 – (a + b) a + ab = a2 – a2 – ab + ab = 0; b2 – (a + b) b +

(*), а отже, і коренями квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0. ◄ Цей наслідок дає змогу розв’язувати деякі квадратні рівняння усно, не використовуючи формулу коренів квадратного рівняння.

ПРИКЛАД 1.

3x2 – 15x + 2 = 0.

Розв’язання. З’ясуємо, чи має дане рівняння корені. Маємо: D =−−=−> (). 15432225240 2 ææ Отже, рівняння має два корені x1 і x2. Тоді за теоремою Вієта xx12 15 3 5 +=−= , xx12 2

ПРИКЛАД 2. Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2 + bx + c = 0, якщо його коренями є числа –7 і 4. Розв’язання.

із цілими коефіцієнтами:

значення

виразу 11 21xx + .

Розв’язання. За теоремою Вієта

x2 ' — корені шуканого рівняння.

За умовою xx114 '= + , xx224 '= + .

За теоремою Вієта x1 + x2 = –6, x1x2 = –14.

Тоді маємо: xxxxxx 121212448682 '+' =+++=++=−+= (); ′′ =++=+++=xxxxxxx 1212121244416 x ()()() =−+−+=−14461622 æ().

Отже, за теоремою, оберненою до теореми Вієта, шуканим є рівняння x2 – 2x – 22 = 0. Відповідь: x2 – 2x – 22 = 0. ◄

1. Сформулюйте теорему Вієта. 2. Сформулюйте наслідок з  теореми Вієта. 3. Сформулюйте теорему, обернену до теореми Вієта. 4. Сформулюйте наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта.

689.° Чому дорівнює сума коренів рівняння x2 + 5x – 10 = 0: 1) 5; 2) –5; 3) –10; 4) 10?

690.° Чому дорівнює добуток коренів рівняння x2 – 14x + 12 = 0: 1) –14; 2) 14; 3) 12; 4) –12?

691.° Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму та добуток

його коренів:

1) x2 + 6x – 32 = 0; 3) 2x2 – 6x + 3 = 0; 2) x2 – 10x + 4 = 0; 4) 10x2 + 42x + 25 = 0.

692.° Не розв’язуючи рівняння, знайдіть суму та

його коренів:

1) x2 – 12x – 18 = 0; 3) 3x2 + 7x + 2 = 0; 2) x2 + 2x – 9 = 0; 4) –4x2 – 8x + 27 = 0.

693.° Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння:

1) x2 – 8x + 12 = 0 числа 2 і 6; 2) x2 + x – 56 = 0 числа –7 і 8;

3) x2 – 13x + 42 = 0 числа 5 і 8; 4) x2 – 20x – 99 = 0 числа 9 і 11.

694.° Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, установіть, чи є коренями рівняння: 1) x2 + 2x – 3 = 0 числа 1 і –2; 2) x2 + 5x + 6 = 0 числа –2 і –3.

695.° Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2 + bx + c = 0, якщо його коренями є числа: 1) –8 і 6; 2) 4 і 5.

696.° Знайдіть коефіцієнти b і c рівняння x2 + bx + c = 0, якщо його коренями є числа: 1) –2 і 0,5; 2) –10 і –20.

697.• Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) 2 і 5; 3) –0,2 і –10; 5) 0 і 6; 2) 1 3 і 2; 4) 23 і 23 + ; 6) 7 і 7.

698.• Складіть квадратне рівняння із цілими коефіцієнтами, корені якого дорівнюють: 1) –7 і –8; 3) 1 2 і 2 3 ; 2) 5 і –0,4; 4) 510 і 510 + .

§ 3. КВАДРАТНІ

699.• Число –2 є коренем рівняння x2 – 8x + q = 0. Знайдіть значення q і другий корінь рівняння. Обговоріть у класі, як розв’язати цю задачу, не застосо’язати цю задачу, не застосоязати цю задачу, не застосовуючи теорему Вієта.

700.• Число 7 є коренем рівняння x2 + px – 42 = 0. Знайдіть значення p і другий корінь рівняння.

701.• Число 1 3 є коренем рівняння 6x2 – bx + 4 = 0. Знайдіть значення b і другий корінь рівняння.

702.• Число –0,2 є коренем рівняння 4x2 – 5,6x + m = 0. Знайдіть значення m і другий корінь рівняння.

703.• Відомо, що x1 і x2 корені рівняння 2x2 – 7x – 13 = 0. Не розв’язуючи рів няння, зна йдіть зна чення

x1x2 – 4x1 – 4x2.

704.• Відомо, що x1 і x2 корені рівняння 5x2 + 4x – 13 = 0. Не розв’язуючи рів няння, зна йдіть зна чення

3x1x2 – x1 – x2.

705.• При якому значенні b корені рівняння x2 + bx – 17 = 0 є протилежними числами? Знайдіть ці корені.

706 . • Застосовуючи тео рему, обе рнену до тео реми Віє та, розв’яжіть рівняння:

1) x2 – 5x + 4 = 0; 5) x2 – 9x + 20 = 0; 2) x2 + 5x + 4 = 0; 6) x2 – x – 2 = 0; 3) x2 – 4x – 5 = 0; 7) x2 + 2x – 8 = 0; 4) x2 + 4x – 5 = 0; 8) x2 – 3x – 18 = 0.

707 . • Застосовуючи тео рему, обе рнену до тео реми Віє та, розв’яжіть рівняння: 1) x2 – 10x + 24 = 0; 3) x2 – 2x – 8 = 0; 2) x2 + 6x + 8 = 0; 4) x2 + x – 12 = 0.

708.• Які з даних рівнянь мають два додатних корені, які два від’ємних, а які корені різних знаків: 1) x2 – 12x + 14 = 0; 4) x2 + 16x + 10 = 0; 2) x2 + 6x – 42 = 0; 5) x2 – 24x + 0,1 = 0; 3) x2 – 7x – 30 = 0; 6) x2 + 20x + 3 = 0?

709.•• Один із коренів рівняння x2 – 10x + c = 0 на 8 менший від другого. Знайдіть значення c і корені рівняння.

710.•• Корені рівняння x2 + 20x + a = 0 відносяться як 7 : 3. Знайдіть значення a та корені рівняння.

20. Теорема Вієта 203

711.•• Корені x1 і x2 рівняння x2 – 7x + m = 0 задовольняють умову 2x1 – 5x2 = 28. Знайдіть корені рівняння та значення m.

712.•• Корені x1 і x2 рівняння x2 + 4x + n = 0 задовольняють умову 3x1 – x2 = 8. Знайдіть корені рівняння та значення n.

713.••

Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, знайдіть корені рівняння:

1) 2x2 – 5x + 3 = 0; 3) 16x2 – 23x + 7 = 0; 2) 2x2 + 5x + 3 = 0; 4) –8x2 – 19x + 27 = 0.

714.•• Користуючись теоремою, оберненою до теореми Вієта, знайдіть корені рівняння: 1) 7x2 + 11x – 18 = 0; 2) 9x2 – 5x – 4 = 0.

715.•• Відомо, що x1 і x2 корені рівняння x2 – 9x + 6 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1) 11 12xx + ; 2) xx 1 2 2 2 + ; 3) (x1 – x2)2; 4) xx 1 3 2 3 + .

716.•• Відомо, що x1 і x2 корені рівняння x2 + 5x – 16 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу: 1) xxxx 1 2 22 2 1 + ; 2) x x x x 2 1 1 2 + ; 3) | x2 – x1 |.

717.•• Складіть квадратне рівняння, корені якого на 2 менші від відповідних коренів рівняння x2 + 8x – 3 = 0.

718.•• Складіть квадратне рівняння, корені якого на 3 більші за відповідні корені рівняння x2 – 12x + 4 = 0.

719.•• Складіть квадратне рівняння, корені якого в 3 рази менші від відповідних коренів рівняння 2x2 – 14x + 9 = 0.

720.•• Складіть квадратне рівняння, корені якого у 2 рази більші за відповідні корені рівняння 2x2 – 15x + 4 = 0.

721.* Сума квадратів коренів рівняння 3x2 + ax – 7 = 0 дорівнює 46 9 . Знайдіть значення a.

722.* Корені x1 і x2 рівняння x2 – ax + 8 = 0 задовольняють умову x x x x 1 2 2 1 5 2 += . Знайдіть значення a.

723.* Чи є правильним твердження:

1) рівняння 7x2 + 4x – a2 – 1 = 0 має корені різних знаків при будь-якому значенні a; 2) якщо рівняння x2 + 6x + a2 + 4 = 0 має корені, то незалежно від значення a вони обидва від’ємні?

724.* Знайдіть усі цілі значення b,

рівняння:

1) x2 + bx + 6 = 0; 2) x2 + bx – 12 = 0.

725.* Знайдіть усі цілі значення b, при яких

рівняння:

1) x2 + bx + 8 = 0; 2) x2 + bx – 18 = 0.

726.* Корені рівняння x2 + bx + c = 0 дорівнюють

яких значеннях a сума

рівняння x2 – 4x + a =

1) 400; 2) 150; 3) 200; 4) 350?

Ті,хтовивчає англійськумову Ті,хтовивчає іспанськумову

Ті,хтовивчає італійськумову Рис. 45

731. Скоротіть дріб: 1) 416 216 a a ; 3) cc c 21025 525 ++ + ; 5) nn nn 35 3; 2) 128 23 32bb b ; 4) 4 44 2 2 −+ m mm ; 6) 22 484 2 2 −+ x xx .

732. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точок перетину графіків функцій y = x2 і y = x + 2. Накресліть графіки даних функцій і позначте знайдені точки.

733. У саду посадили 48 дерев однаковими рядами з однаковою кількістю

734. Користуючись методом групування,

многочлен: 1) x2 – 7x + 10; 3) a2 + 8a + 12; 2) y2 + 3y – 4; 4) x2 – x – 6.

735. Василь задумав три цифри x, y, z. Ольга називає три числа a, b, c. Василь повідомляє Ользі значення виразу ax + by + cz. Які числа має назвати Ольга, щоб за отримамає назвати Ольга, щоб за отримаає назвати Ольга, щоб за отриманою від Василя інформацією визначити

§ 3. КВАДРАТНІ

2. Розв’яжіть рівняння 9x – x2 = 0. А) –3; 0; 3; В) –3; 3; Б) 0; 3; Г) 0; 9.

3. Розв’яжіть рівняння xxxx 2 6 2 3 3 2 −= . А) 0; 5; Б) 5; В) 5; Г) 5;5.

4. Яке з наведених рівнянь не має коренів? А) x2 – 5x – 2 = 0; В) x2 – 2x + 5 = 0; Б) x2 – 5x + 2 = 0; Г) x2 + 2x – 5 = 0.

5. Скільки коренів має рівняння 6x2 + 13x + 5 = 0? А) два; Б) безліч; В) жодного; Г) один.

6. Чому дорівнює сума коренів рівняння x2 – 10x – 12 = 0? А) 10; Б) –10; В) –12; Г) 12.

7. Чому дорівнює добуток коренів рівняння 3x2 – 16x + 6 = 0? А) 6; Б) 2; В) –16; Г) 16 3 .

8. При яких значеннях змінної набувають рівних значень вирази ()() 312 xx−+ і (x – 12) (x – 4)? А) –12,5; 2; В) –25; 4; Б) 12,5; –2; Г) 25; –4.

9. Складіть квадратне рівняння, корені якого дорівнюють 32 і 32 + . А) x2 + 6x – 7 = 0; В) x2 + 6x + 7 = 0; Б) x2 – 6x – 7 = 0; Г) x2 – 6x + 7 = 0.

10. Розв’яжіть рівняння x | x | – 9x – 10 = 0.

А) –1; 10; 941 2 ; −+941 2 ; В) –1; 941 2 ; Б) 10; 941 2 ; −+941 2 ; Г) –1; 10.

11. Число –5 є коренем рівняння 2x2 + 9x + c = 0. Знайдіть другий корінь рівняння та значення c. А) x2 = 0,5, c = –5; В) x2 = 9,5, c = 22,5; Б) x2 = –0,5, c = 5; Г) x2 = 9,5, c = –22,5.

Готуємося до тематичного оцінювання

207

У завданні 12 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

12. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та множиною його коренів (А–Д).

Рівняння Множина коренів

1) xx2340 −+= А) ∅

2) xx2340 −−= Б) {,} 14

3) xx2540 −+= В) {,} 14

Г) {,}14 Д) {,}14

ГОТУЄМОСЯ ДО ТЕМАТИЧНОГО ОЦІНЮВАННЯ

1.° Розв’яжіть рівняння:

1) 3150 2 x −= ; 4) 71640 2 xx−+= ; 2) 270 2 xx+= ; 5) 514100 2 xx−+= ; 3) xx211120 +−= ; 6) xx2530 −+= .

2.° Складіть зведене квадратне рівняння, сума коренів якого дорівнює –11, а добуток — числу 6.

3.• Одна зі сторін прямокутника на 3 см менша від другої сторони і на 6 см менша від діагоналі прямокутника. Знайдіть сторони прямокутника.

4.• Число –2 є коренем рівняння 3200 2 xbx+−= . Знайдіть другий корінь рівняння і значення b.

5.•• При якому значенні a рівняння 5100 2 xxa−+= має єдиний корінь?

6. •• Доведіть, що при будь-якому значенні m рівняння xmxm2220 −++= не має коренів.

21. Квадратний тричлен

Означення:

Наведемо приклади многочленів, які є квадратними тричленами: 2x2 – 3x + 5; x2 + 7x; x2 – 5; 3x2 .

Зазначимо, що ліва частина квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0 є квадратним тричленом.

Наприклад, чис ло 2 є кор енем ква дратного три члена x2 – 6x + 8.

Щоб знайти корені квадратного тричлена ax2 + bx + c, треба розв’язати відповідне квадратне рівняння ax2 + bx + c = 0. Значення виразу D = b2 – 4ac називають дискримінантом квадратного тричлена ax2 + bx + c. Якщо D < 0, то квадратний тричлен коренів не має. Якщо D = 0, то квадратний тричлен має один корінь, якщо D > 0 то два корені.

Розглянемо квадратний тричлен x2 – 3x + 2. Розкладемо його на множники методом групування

21. Квадратний тричлен 209

Зв’язок між коренями квадратного тричлена та лінійними множниками, на які він розкладається, установлює така теорема.

Теорема 21.1:

Як що дискримінант квадратного три чле на ax 2 + bx + c додатний, то даний тричлен

розкласти на лінійні множники: ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2),

де x1 і x2 — корені квадратного тричлена.

Доведення. Оскільки числа x1 і x2 є коренями квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0, то за теоремою Вієта

Тоді a (x – x1) (x – x2) = a (x2 – (x1 + x2) x + x1x2) = =++

Зауваження. Якщо дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, то вважають, що квадратний тричлен має два рівних корені, тобто x1 = x2. У цьому випадку розклад квадратного тричлена на лінійні множники має такий вигляд: ax2 + bx + c = a (x – x1)2.

Тео рема 21.2:

Якщо дискримінант квадратного тричлена від’ємний, то даний тричлен не можна розкласти на лінійні множники.

Доведення . Припустимо, що ква дратний три член ax2 + bx + c можна розкласти на лінійні множники. Тоді існують такі числа

рівність ax2 + bx + c = k (x – m) (x – n). Звідси отримуємо, що m і n корені даного

3x2 – 7x + 2.

Розв’язання. 1) Знайдемо корені даного тричлена: x2 – 14x – 32 = 0; x1 = –2, x2 = 16.

Отже, x2 – 14x – 32 = (x + 2) (x – 16).

2) Розв’яжемо рівняння –x2 + 17x – 30 = 0. Маємо: x2 – 17x + 30 = 0; x1 = 2, x2 = 15.

Отже, –x2 + 17x – 30 = – (x – 2) (x – 15).

3) Розв’яжемо рівняння 3x2 – 7x + 2 = 0. Маємо: x1 1 3 = , x2 = 2.

Тоді

21. Квадратний тричлен 211

1. Який многочлен називають квадратним тричленом? 2. Що називають коренем квадратного тричлена? 3. Що називають дискримінантом квадратного тричлена? 4. У якому випадку квадратний тричлен не має коренів? має один корінь? має два корені? 5. У якому випадку квадратний тричлен можна розкласти на лінійні множники? 6. За якою формулою квадратний три чле н можна розкласти на лінійні множники? 7. У якому випадку квадратний тричлен не можна розкласти на лінійні множники?

ВПРАВИ

736.° Знайдіть корені квадратного тричлена: 1) x2 – x – 12; 2) 3x2 – 16x + 5; 3) 4x2 + 28x + 49.

737.

тричлен:

1) x2 – 12x + 6; 3) 2a2 – 8a + 8; 2) 3x2 – 8x + 6; 4) –6b2 + b + 12?

738.° Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен:

1) x2 – 7x + 12; 4) –x2 – 5x – 6; 7) 4x2 + 3x – 22; 2) x2 + 8x + 15; 5) –x2 + x + 2; 8) –3a2 + 8a + 3; 3) x2 – 3x – 10; 6) 6x2 – 5x – 1; 9) 1 6 5 6 21bb−+ .

739. ° Розкладіть на лін ійні мно

ква дратний тричлен:

1) x2 – 3x – 18; 4) 5x2 + 8x – 4; 2) x2 + 5x – 14; 5) 2a2 – 3a + 1; 3) –x2 + 3x + 4; 6) 4b2 – 11b – 3.

740.° Скоротіть дріб: 1) xx x 26 3 +− + ; 2) 315 220 x xx ; 3) xx xx 2 2 4 28 + +− .

741.° Скоротіть дріб: 1) xx x 265 5 −+ ; 2) 212 2318 x xx + +− ; 3) xx xx 2 2 914 7 ++ + .

742.• Скоротіть дріб: 1) 49 2918 2 2 a aa ; 3) cc cc 2 2 56 812−+ ; 5) x xx 2 2 16 324 ; 2) 273 441 2 2 bb bb −+ −+ ; 4) m mm 3 2 1 910+− ; 6) 492 295 2 2 nn nn −+ +− .

743.• Скоротіть дріб: 1) 43 1 2 2 xx x +− ; 2) aa aa 2 2 54 20 ++ ; 3) 3207 761 2 2 +−bb bb .

744.•• При якому значенні b розклад на лінійні множники тричлена: 1) 2x2 – 5x + b містить множник (x – 3); 2) –4x2 + bx + 2 містить множник (x + 1); 3) 3x2 – 4x + b містить множник (3x – 2)?

745.•• При якому значенні a розклад на лінійні множники тричлена: 1) 2x2 – 7x + a містить множник (x – 4); 2) 4x2 – ax + 6 містить множник (2x + 1)?

746.•• Спростіть вираз:

21. Квадратний тричлен 213

751.* Розкладіть на множники многочлен: 1) a2 – 14ab + 40b2; 2) 12b2 + bc – 6c2 .

752.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) (a2 – a – 6) x = a2 – 9; 2) (a2 – 8a + 7) x = 2a2 – 13a – 7.

753.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння (a2 + 7a – 8) x = a2 + 16a + 64.

УЧИМОСЯ ЗАСТОСОВУВАТИ МАТ ЕМАТИКУ

754. На рисунку 46 зображено графік стану банківського

рахунку вкладниці протягом року. Установіть:

1) у які моменти банківський рахунок мав нульовий баланс;

2) у

3) у які місяці баланс банківського рахунку був

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь 215

Розв’язуючи це рівняння, знаходимо: t1 = 4, t2 = 9. Оскільки t = x2 , то розв’язування заданого рівняння зводиться до розв’язування двох рівнянь: x2 = 4 і x2 = 9.

Звідси x1 = –2, x2 = 2, x3 = –3, x4 = 3. Відповідь можна записати двома способами: –2; 2; –3; 3 або ±2; ±3. ◄

Заміною x2 = t біквадратне рівняння зводиться до квадратного рівняння at2 + bt + c = 0. Такий спосіб розв’язування рівнянь називають методом заміни змінної. Метод заміни змінної можна використовувати для розв’язування не лише біквадратних рівнянь.

ПРИКЛАД 2. Розв’яжіть рівняння (2x – 1)4 + (2x – 1)2 – 2 = 0. Розв’язання. Зробимо заміну (2x – 1)2 = t. Тоді дане рівняння зводиться до квадратного рівняння t2 + t – 2 = 0.

Звідси t1 = –2, t2 = 1.

Тепер треба розв’язати два таких рівняння: (2x – 1)2 = –2 і (2

рівняння отримуємо: 2x – 1 = –1

Звідси x1 = 0, x2 = 1.

Оскільки x l 0, то ці

і задане рівняння

Відповідь: коренів немає. ◄

Відповідь: –3. ◄ ПРИКЛАД 5.

22. Розв’язування рівнянь, які зводяться до квадратних рівнянь 217

Яке рівняння називають біквадратним?

ВПРАВИ

761.° Розв’яжіть рівняння:

1) x4 – 5x2 + 4 = 0; 4) x4 + 14x2 – 32 = 0;

2) x4 – 5x2 + 6 = 0; 5) 4x4 – 9x2 + 2 = 0;

3) x4 – 8x2 – 9 = 0; 6) 3x4 + 8x2 – 3 = 0.

762.° Розв’яжіть рівняння:

1) x4 – 29x2 + 100 = 0; 4) x4 + 3x2 – 70 = 0; 2) x4 – 9x2 + 20 = 0; 5) 9x4 – 10x2 + 1 = 0; 3) x4 – 2x2 – 24 = 0; 6) 2x4 – 5x2 + 2 = 0.

763.° Розв’яжіть рівняння: 1) xx x 234 1 0 +− + = ; 5) x x x x 214 2 5 2 ++ = ; 2) xx x 267 7 0 = ; 6) xx x

8

8 + + = ; 3) 32 1 2 0 xx x = ; 7) xx x

5

5 0 + + −= ; 4) xx xx 28 10 20 10 ++ = ; 8) xx x x x 26 3 152 3 0 += .

764.° Розв’яжіть рівняння: 1) xx x 256 6 0 = ; 3) xx x x x 24 7 556 7 + + + + = ; 2) 472 2 2 0 xx x = ; 4) xx x x x 212 4 512 4 0 + + + −= .

765.• Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 3)4 – 3 (x + 3)2 – 4 = 0;

2) (2x + 1)4 – 10 (2x + 1)2 + 9 = 0;

3) (6x – 7)4 + 4 (6x – 7)2 + 3 = 0; 4) (x – 4)4 + 2 (x – 4)2 – 8 = 0.

766.• Розв’яжіть рівняння:

1) (3x – 1)4 – 20 (3x – 1)2 + 64 = 0;

2) (2x + 3)4 – 24 (2x + 3)2 – 25 = 0.

767.• Розв’яжіть рівняння: 1) xx−+=320; 4) 870 xx++= ; 2) xx−−=120; 5) 6270 xx−+= ; 3) 31030 xx−+= ; 6) 81030 xx−+= .

768.• Розв’яжіть рівняння: 1) xx−+=680; 2) xx−−=5500; 3) 2310 xx−+= .

769.• Розв’яжіть рівняння: 1)

918 9

770.• Розв’яжіть рівняння: 1) xx x 2 2 910 1 0 = ; 2)

771.• Розв’яжіть рівняння: 1) 2 3 33 y

772.• Знайдіть корені рівняння: 1) 213 6 6 x x x x + = ; 2) 3420 2 2 25 xx x x + =− .

773.• Знайдіть корені рівняння: 1) 518 2

1) сума

2) значення

779.•• Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної:

1) (x2 – 2)2 – 8 (x2 – 2) + 7 = 0; 2) (x2 + 5x)2 – 2 (x2 + 5x) – 24 = 0; 3) (x2 – 3x + 1) (x2 – 3x + 3) = 3; 4) (x2 + 2x + 2) (x2 + 2x – 4) = –5.

780.•• Розв’яжіть рівняння методом заміни змінної: 1) 21621 2 50 x x x

781.•• Розв’яжіть рівняння: 1) (x2 – 6x)2 + (x2 – 6x) – 56 = 0; 2) (x2 + 8x + 3) (x2 + 8x + 5) =

Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) xx xa 287 0 −+ = ; 3) xaxa x 2326 6 0 −++ = () ; 2) xa xx−+ = 2870; 4) axa x () . + = 3 0

783.* При яких значеннях a рівняння xax x 25 1 0 −+ =

ний корінь?

МАТ ЕМАТИКУ 784. Разове відвідування басейну

дозволяє відвідувати басейн у будь-який день тижня. Такий

1) одну спільну точку; 2) дві спільні точки;

3) три спільні точки.

786. Яким числом, раціональним

Отримуємо рівняння t t −=− 8 2.

системі tt t 2280 0 +−= ≠    , .

Звідси t1 = –4, t2 = 2.

Тепер розв’язування зад аного рів няння зво диться до розв’язування двох рівнянь: 1) xx x 236 4=− ; 2) xx x 236 2 = .

Розв’яжіть ці рівняння самостійно.

Відповідь: –3; –1; 2; 6. ◄

ПРИКЛАД 2. Розв’яжіть рівняння (2x2 + 3x – 1)2 – 10x2 – 15x + 9 = 0.

Розв’язання. Перетворимо це рівняння: (2x2 + 3x – 1)2 – 10x2 – 15x + 5 + 4 = 0; (2x2 + 3x – 1)2 – 5 (2x2 + 3x – 1) + 4 = 0.

Нехай 2x2 + 3x – 1 = t. Тоді t2 – 5t + 4 = 0.

Звідси t1 = 1, t2 = 4.

Отже, 2x2 + 3x – 1 = 1 або 2x2 + 3x – 1 = 4.

Розв’язавши ці два рівняння, отримуємо відповідь.

Відповідь: –2; 1 2 ; 5 2 ; 1. ◄

ПРИКЛАД 3. Розв’яжіть рівняння (2x2 – 3x + 1) (2x2 + 5x + 1) = 9x2 . Розв’язання. За допомогою перевірки легко переконатися, що число 0 не є

1) 231 1 x x +−= ;

2) 239 1 x x +−=− .

Розв’яжіть ці рівняння самостійно.

. Нехай xt x += 1 .

рівняння таким чином: 7t – 2 (t2 – 2) = 9; 2t2 – 7t + 5 = 0.

Звідси t1

Розв’яжіть ці рівняння самостійно.

Відповідь: 1 2 ; 2. ◄

ПРИКЛАД 5. Розв’яжіть рівняння (x2 – 2x + 2)2 + 3x(x2 – 2x + 2) = 10x2 .

Розв’язання. За допомогою перевірки можна переконатися, що число 0 не є коренем даного рівняння. Отже, можна розділити обидві частини рівняння на x2 . Отримаємо рівняння, рівносильне заданому: ()() . xx x xx x 22 2 2 22322 10 −+ −+ + =

Заміна xx x t 222 −+ = приводить до квадратного рівняння t2 + 3t – 10 = 0.

Завершіть розв’язування самостійно. Відповідь: 22;22 + ; –1; –2. ◄

224

§ 3. КВАДРАТНІ

Може виникнути запитання: чому під час розв’язування прикладів 1–5 ми не пробували спростити рівняння за допомогою тотожних перетворень?

Річ у тім, що, вик онавши тот ожні пер етворення, ми стикнулися б із необхідністю розв’язувати рівняння виду ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 (ви можете переконатися в цьому самостійно). При a ≠ 0 таке рівняння називають рівнянням четвертого степеня, при a = 0 і b ≠ 0 рівнянням третього степеня. Окремим видом рівняння четвертого степеня при b = 0 і d = 0 є біквадратне рівняння. Його ви розв’язувати вмієте. У загальному випадку для розв’язування рівнянь третього й четвертого степенів необхідно знати формули знаходження їхніх коренів. З історією відкриття цих формул

6) 2 (x2 + x + 1)2 – 7 (x – 1)2 = 13 (x3 – 1); 7) (x – 6)4 + (x – 4)4 = 82.

Першим винайшов розв’язання рівняння виду x3 + px = q, де p і q додатні числа, італійський

Ферро (1465–1526). Знайдену формулу

Це було зумовлено тим, що

в чому залежала від його виступів у публічних математичних турнірах. Тому було вигідно зберігати відкриття в таємниці, розраховуючи використати їх у математичних змаганнях як секретну зброю.

Після смерті дель Ферро його учень Фіоре, володіючи секретною формулою, викликав на математичний двобій талановитого математика-самоучку Нікколо Тарталья. За кілька днів до турніру Тарталья сам вивів формулу коренів рівняння третього степеня. Диспут, на якому Тарталья здобув переконливу перемогу, відбувся 20 лютого 1535 року. Уперше секретну формулу було опубліковано в книжці відомого італійського вченого Джероламо Кардано «Велике мистецтво». У цій роботі також описано метод розв’язування рівняння четвертого степеня, відкритий Людовіко Феррарі (1522–1565).

У XVII–XVIII ст. зусилля багатьох провідних математиків

зосередилися на пошуку формули для розв’язання рівнянь п’ятого степеня. Отр иманню рез ультату спр ияли роб оти італійського математика Паоло Руффіні (1765–1822) та норвезького математика Нільса Хенріка Абеля. Сам результат виявився цілком несподіваним: було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будьякого рівняння п’ятого й вищого степенів через коефіцієнти рівняння, використовуючи лише чотири арифметичні дії та дію добування кореня.

Тарталья (1499–1557)

(1501–1576)

Абель (1802–1829)

як математичні моделі реальних ситуацій

У п. 7 ви вже ознайомилися із задачами, у яких раціональні рівняння слугували математичними моделями реальних ситуацій. Тепер, коли ви навчилися розв’язувати квадратні рівняння, можна істотно розширити коло задач, які розглядаються.

ПРИКЛАД 1. Із пункту A виїхав велосипедист, а через 45 хв після цього в тому самому напрямку виїхала вантажівка, яка наздогнала велосипедиста на відстані 15 км від пункту A. Знайдіть швидкість велосипедиста та швидкість вантажівки, якщо швидкість вантажівки на 18 км/год

кість велосипедиста.

Розв’язання . Нехай шви

вел осипедиста дор івнює x км/год,

становить (x + 18) км/год. Велосипедист

15 км за 15 x год, а вантажівка

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 227

Розв’язавши ква дратне рів няння сис теми, отр имаємо x = 12 або x = –30.

Корінь –30 не задовольняє умову задачі.

Отже, швидкість вел осипедиста дор івнює 12 км/ год, а швидкість вантажівки становить: 12 + 18 = 30 (км/год).

Відповідь: 12 км/год, 30 км/год. ◄

ПРИКЛАД 2. Одна бригада працювала на ремонті дороги 7 год, після чого до неї приєдналася друга бригада. Через

2 год їхньої спільної роботи ремонт було закінчено. За скільки годин може відремонтувати дорогу кожна бригада, працюючи самостійно, якщо першій

ніж другій?

Розв’язання. Нехай перша бригада може самостійно відремонтувати дорогу за x год, тоді другій для цього по-

трібно (x – 4) год. За 1 год перша бригада ремонтує 1 x час-

тину дороги, а друга 1 4 x частину дороги. Перша бригада працювала 9 год і відремонтувала 9 x дороги, а друга

бригада працювала 2 год і відремонтувала відповідно 2 4 x

дороги. Оскільки в результаті було відремонтовано всю дорогу, то можна скласти рівняння 92 4 1 xx += .

Отримане рівняння має два корені x1 = 12 і x2 = 3 (переконайтеся в цьому самостійно). Другий корінь не задовольняє умову задачі, оскільки тоді друга бригада мала б відремонтувати дорогу за 3 – 4 = –1 (год), що не має змісту.

Отже, перша бри гада мож е від ремонтувати дор огу за 12 год, а друга за 8 год.

Відповідь: 12 год, 8 год. ◄ ПРИКЛАД 3. Водний розчин солі містив 120 г води. Після того як до розчину додали 10 г солі, її

не задовольняє умову задачі.

Отже, розчин містив спочатку 30 г солі.

Відповідь: 30 г. ◄

ГОВОРИМО ТА ПИШЕМО УКРАЇНСЬКОЮ ПРАВИЛЬНО Запам’ятайте. У числівниках шістнадцять, шістдесят, шістсот літеру т пишемо, але не вимовляємо в усному мовленні: [ш’існац’:ат’], [ш’іздеис’ат], [ш’іс:от].

ВПРАВИ

788.• Відстань між селищами Седнів і Козелець Чернігівської області дорівнює 90 км. Антон і Марина виїхали одночасно на мотоциклах із Седнева до Козельця, щоб оглянути відому перлину архітектури — собор Різдва Богородиці. Оскільки

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 229

789.• Перші 150 км дороги з міста Бердичів (Житомирська область) до міста Ковель (Волинська область) автомобіль проїхав з певною швидкістю, а решту 240 км зі швидкістю на 5 км/год більшою. Знайдіть початкову швидкість автомобіля, якщо на весь шлях із Бердичева до Ковеля він витратив 5 год.

790.• Із Тернополя до Вінниці, відстань між якими дорівнює 240 км, виїхали одночасно автобус і автомобіль. Автобус рухався зі швидкістю на 20 км/год меншою, ніж автомобіль, і прибув до Вінниці на 1 год пізніше за автомобіль. Знайдіть швидкість автомобіля та швидкість автобуса.

791.• Операторка комп’ютерного набору мала за деякий час

набрати 180 сторінок тексту. Проте вона виконала цю ро тексту. Проте вона виконала цю ротексту. Проте вона виконала цю роботу на 5 год раніше строку, оскільки набирала щогодини

на 3 сторінки більше, ніж планувала. Скільки сторінок вона набирала щогодини?

792.• Перший насос перекачує 90 м3 води на 1 год швидше, ніж другий перекачує 100 м3. Скільки кубічних метрів води щогодини перекачує кожен насос, якщо перший перекачує за годину на 5 м3 води більше, ніж другий?

793.• Робітник мав за певний час виготовити 72 деталі. Проте щодня він виготовляв на 4 деталі більше, ніж планував, і закінчив роботу на 3 дні раніше строку. За скільки днів він виконав роботу?

794.• Катер пройшов 16 км за течією річки та 30 км проти течії, витративши на весь шлях 1 год 30 хв. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки становить 1 км/год.

795.• Човен проплив 15 км за течією річки й повернувся назад, витративши на зворотний шлях на 1 год більше. Знайдіть швидкість човна за течією річки, якщо швидкість течії становить 2 км/год.

796.• За течією річки від пристані відплив пліт. Через 4 год від цієї пристані в тому самому напрямку відчалив човен, який наздогнав пліт на відстані 15 км від пристані. Знайдіть швидкість течії річки,

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ

798.• Дві робітниці, працюючи разом, можуть виконати виробниче завдання за 20 днів. За скільки днів може виконати це завдання кожна з них, працюючи самостійно, якщо одній із них для цього потрібно на 9 днів більше, ніж другій?

799.• Одному маляру потрібно на 5 год більше, ніж другому, щоби пофарбувати фасад будинку. Коли перший маляр пропрацював 3 год, а потім його змінив другий, який

пропрацював 2 год, то виявилося, що пофарбовано 40 % площі фасаду. За який час може пофарбувати фасад кожний маляр, працюючи самостійно?

800.• Першого дня трактористка орала поле 6 год. Другого дня до неї приєдналася друга трактористка, і через 8 год спільної роботи вони закінчили оранку. За скільки годин може зорати це поле кожна трактористка, працюючи самостійно, якщо першій для цього потрібно

другій?

801.• До розчину, який містив 20 г солі, додали 100 г води, після чого концентрація солі зменшилася на 10 %. Скільки грамів води містив розчин спочатку?

802.• Зливок сплаву міді та цинку, який містив 10 кг цинку, сплавили з 10 кг міді. Відсотковий вміст міді в одержаному сплаві виявився на 5 % більшим, ніж у початковому. Скільки кілограмів міді містив початковий зливок сплаву? 803.•• Через 2 год 40 хв після відправлення плота від пристані A за течією річки назустріч йому від пристані B відійшов катер. Знайдіть швидкість течії річки, якщо пліт і катер зустрілися на відстані 14 км від пристані A, швидкість катера в стоячій

пристанями A і B становить 32 км. 804.•• До басейну підведено дві труби. Через

причому для зливу води потрібно на 1 год більше, ніж

23. Раціональні рівняння як математичні моделі реальних ситуацій 231

806.•• Автобус мав проїхати відстань між двома містами, яка дорівнює 400 км, з деякою швидкістю. Проїхавши 2 год із запланованою швидкістю, він зупинився на 20 хв і, щоби прибути в пункт призначення вчасно, збільшив швидкість руху на 10 км/год. З якою швидкістю автобус мав проїхати відстань між містами? 807.•• Робітник за певний час мав виготовити 360 деталей. Перші 5 днів він щоденно виготовляв заплановану кількість деталей, а потім щодня виготовляв на 4 деталі більше, і вже за день до строку виготовив 372 деталі. Скільки деталей щодня мав виготовляти робітник за планом? 808.* Щоб виконати певне виробниче завдання, першій робітниці потрібно на

Обчисліть:

810. Знайдіть значення виразу aa2252 −+ при a =−53.

811. Побудуйте графік функції y = –2x + 4.

1) Чому дорівнює нуль даної функції?

2) Укажіть значення x, при яких y > 0. 3) Чи проходить графік функції через точку M (–36; 68)?

812. При якому значенні k графік функції y k x = проходить

точку A ( ) 123;? Побудуйте цей графік. 813. Яка з рівностей є правильною: 3232 2() =−

3223 2() =− ?

814. Спростіть вираз: 1) 1 4 13 2 ab



 ; 3) (,). 02412254abab æ 2) a b 4 5 3

частини так, що одержані 10 шматочків можна буде розкласти на дві тарілки

Бурхливий розвиток обчислювальної

циплін і запропонував

наукових

досліджень моделювання процесів на електронних

числювальних машинах (ЕОМ). (З деякими математичними моделями ви ознайомилися в пп. 7 та 23.) Сьогодні важко уявити своє

комп’ютерів. І тим складніше повірити, що їхня історія налічує менше ніж сто років. Перша у світі електронна обчислювальна машина

була створена в США наприкінці 40-х рр. ХХ ст. і використовувалася для розрахунків траєкторії польоту снарядів берегової артилерії. А перша в континентальній Європі електронна обчислювальна машина

233 Перша ЕОМ в Європі

України під керівництвом академіка С. О. Лебедєва розпочала роботу над створенням так званої «моделі електронної обчислювальної машини» (МЕСМ). І вже у грудні 1951 р. МЕСМ розв’язувала практичні задачі, які для неї програмували співробітники Інституту математики Академії наук України. Більше року МЕСМ була не тільки першою, а й єдиною ЕОМ у континентальній Європі. У 1957 р. було створено Обчислювальний центр Академії

наук України, який у 1962 р. був перетворений в Інститут

кібернетики. Засновник інституту академік Віктор Михайлович Глушков до 1982 р. був його директором.

Перші задачі, для розв’язування яких були застосовані

ЕОМ, задовольняли потреби атомної та ракетної техніки.

За допомогою ЕОМ проводили розрахунки траєкторій пілотних і безпілотних систем у реальному масштабі часу, вибір оптимальних конструкцій серед множини можливих варіантів. Такі задачі є характерними для швидкодіючих комп’ютерів і в наш час. Інститут кібернетики був колискою вітчизняних наукових кадрів у галузі кібернетики, інформатики, обчислювальної техніки. Наукові здобутки його співробітників відомі в усьому світі. І сьогодні засади побудови елементної бази обчислювальної техніки, математичного моделювання, теорії автоматів, автоматизованих систем керування, інших комп’ютерних дисциплін багато в чому ґрунтуються на працях українських науковців. Учені інституту заснували всесвітньо відомі наукові школи з математичної кібернетики та теорії обчислювальних машин і систем, теорії оптимізації та системного аналізу,

В. М. Глушков (1923–1982)

§ 3. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ 234

математичного моделювання, математичної теорії надійності, теорії програмування тощо. У 1992–1997 рр. на базі автономних підрозділів Інституту кібернетики створено Інститут програмних систем Національної академії наук (НАН) України, Інститут проблем математичних машин і систем НАН України, Інститут космічних досліджень НАН України та Національну космічну агенцію (НКА) України, Навчально-науковий комплекс «Інститут прикладного системного аналізу» Міністерства освіти і науки (МОН) України та НАН України, Міжнародний науковонавчальний центр інформаційних технологій і систем НАН України та МОН України, які ввійшли до складу створеного в 1992 р. Кібернетичного центру НАН України.

ЗАВДАННЯ № 6 «ПЕ РЕВІРТЕ СЕБЕ »

Завдання 1–11 мають по чотири варіанти відповіді, з яких лише ОДИН ПРАВИЛЬНИЙ. Виберіть правильний варіант відповіді.

1. Знайдіть корені квадратного тричлена 5x2 – x – 6. А) 2; –0,6; В) 1; –1,2; Б) –2; 0,6; Г) –1; 1,2.

2. Розкладіть на множники квадратний тричлен –x2 – 4x + 5. А) (x – 1) (x + 5); В) – (x – 1) (x + 5); Б) (x + 1) (x – 5); Г) – (x + 1) (x – 5).

3. Скоротіть дріб xx xx 2 2 712 6 ++ +− . А) x x + 4 2 ; Б) x x 4 2 ; В) x x + + 4 2 ; Г) x x + 4 2 .

4. Розв’яжіть рівняння x4 + 7x2 – 18 = 0. А) –3; 3; В) –3; 2;2; 3; Б) 2;2; Г) 2; 3.

5. Знайдіть корені рівняння (x2 – 4x)2 – 2 (x2 – 4x) – 15 = 0. А) –1; 1; 3; 5; Б) –1; 5; В) 1; 3; Г) 1; 3; 5.

6. Розв’яжіть рівняння xx−−=120. А) –3; 4; Б) –2; 2; В) 16;Г) 9; 16.

235 Завдання № 6 «Перевірте себе» в тестовій формі

7. Розв’яжіть рівняння 314 2 109 22 x xx x xx −= . А) 4 3 ; 2; Б) 4 3 ; –2; В) 4 3 ; Г) 2.

8. З одного міста в інше, відстань між якими дорівнює 350 км, виїхали одн очасно ван тажний і лег ковий авт омобілі. Швидкість вантажівки на 20 км/год менша від швидкості легкового автомобіля, через що вона прибула до пункту призначення на 2 год пізніше за легковий автомобіль. Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює x км/год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі? А) 350350 20 2 xx −=

9. Катер проплив 30 км

10. Робітниця мала за деякий час виготовити 96 деталей. Щодня вона виготовляла на 2 деталі більше, ніж планувала, і закінчила роботу на 4 дні раніше строку. Нехай робітниця виготовляла

§ 3. КВАДРАТНІ

Нехай перший робітник може самостійно виконати

дання за x год. Яке з рівнянь є математичною моделлю ситуації, описаної в умові задачі?

У завданні 12 до кожного з трьох рядків інформації, позначених цифрами, доберіть один правильний, на вашу думку, варіант, позначений буквою.

12. Установіть відповідність між рівнянням (1–3) та множиною його коренів (А–Д).

Рівняння Множина коренів 1) x xx−+ = 4 2540 2) xxx() +−= 19100 (2) 3) xx x 2640 4 0 +− = А) {,} 101 Б) {}1 В) {} 10 Г) {,} 104 Д) ∅

1.° Розкладіть на множники квадратний тричлен: 1) xx2524; 2) 273 2 xx−+ .

2.° Розв’яжіть рівняння: 1) xx 42670−−= ; 2) xx xx 25 8 24 8 + ++ = .

3.• Скоротіть дріб 253 9 2 2 xx

4.

237 Головне в параграфі 3

і працював на годину більше, ніж другий. Який об’єм води перекачував за годину кожний насос?

6.•• Побудуйте графік функції y xx x xx x = −+ + 252 2 34 1 22 .

Рівняння першого степеня

Рівняння виду ax = b , де x змінна, a і b деякі числа, причому a ≠ 0, називають рівнянням першого степеня.

Квадратне рівняння Рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де x змінна, a, b і  c деякі числа, причому a ≠ 0, називають квадратним рівнянням.

Зведене квадратне рівняння

Квадратне рівняння, перший коефіцієнт якого дорівнює 1,

називають зведеним.

Неповне квадратне рівняння

Якщо у квадратному рівнянні ax2 + bx + c = 0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням.

Розв’язування неповного квадратного рівняння

Коефіцієнти рівняння ax2 + bx + c = 0

Неповне квадратне рівняння

238

§ 3. КВАДРАТНІ

Дискримінант квадратного рівняння

Для рівняння виду ax2 + bx + c = 0, де a ≠ 0, його дискримінант D це значення виразу b2 – 4ac.

Розв’язування квадратного рівняння

Якщо D < 0, то квадратне рівняння коренів не має. Якщо D = 0, то квадратне рів няння має

інь x b a =− 2 .

Якщо D > 0, то квадратне рівняння має

Теорема Вієта Якщо x1 і x2 корені квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0, то xx b a 12+=− , xx c a 12 = .

Теорема, обернена до теореми

Якщо числа a і b такі, що

є коренями квадратного рівняння ax2 + bx + c = 0.

Квадратний тричлен

Многочлен виду ax2 + bx + c, де x змінна, a, b і c деякі числа, причому a ≠ 0, називають квадратним тричленом. Розклад квадратного тричлена на множники

Якщо дискримінант ква дратного три члена ax 2 + bx + c додатний, то даний тричлен можна розкласти на лінійні множники: ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2), де x1 і x2 корені квадратного тричлена. Якщо дискримінант ква дратного три члена ax 2 + bx + c дорівнює нулю, то такий тричлен можна розкласти на лінійні множники: axbxcax b a 2 2 2 ++=+

.

Біквадратне рівняння Рівняння виду ax4 + bx2 + c = 0, де x змінна, a, b і c деякі числа, причому a ≠ 0, називають біквадратним рівнянням.

816. Знайдіть значення виразу:

1) 3 2 mn mn + , якщо m = –4, n = 3; 2) aa a 22 42 + , якщо a = –0,8.

817. При яких значеннях змінної має зміст вираз: 1) 5 2 y ; 4) 2 1 3 6 x xx ; 7) 3 5 x ; 2) m 3 7 ; 5) x x + 2 7 ; 8) x x 8 4 + ; 3) 3 4 + t t ; 6) 4 225 x ; 9) x xx + +− 8 83 ()() ?

818. Скоротіть дріб:

1) 8 4 23 32 ac ac ; 2) 25 75 2 8 mn mn ; 3) 60 18 325 426 abcd abcd ; 4) 42 14 89 63 xy xy .

819. Подайте частку у вигляді дробу та скоротіть отриманий дріб: 1) 4mn2p : (28m2np6); 2) –30x5y3 : (36x4y8).

820. Скоротіть дріб: 1) 36 3 xy x ; 4) 124 26 2 xx x ; 2) 39 412 ab ab + + ; 5) x xx 2 2 9 69++ ; 3) a a 249 321 + ; 6) bb bb 74 25 + + .

821. Знайдіть значення виразу: 1) xyxy xy 5739 37, якщо x = –0,2, y = 0,5; 2) 20140245 414 22 xxyy xy −+ , якщо 2x – 7y = –0,5.

822. Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) (a + 2) x = 7; 3) (a + 3) x = a2 + 6a + 9; 2) (a + 6) x = a + 6; 4) (a2 – 4) x = a – 2.

823. Подайте у вигляді дробу вираз: 1) 7 22 4 22 aa + ; 5) 717 5 72 5 p k p k + ; 2) 8 3 5 3 x y x y ; 6) 64 1515 22 aa a aa a −+ ; 3) 72 15 37 15 xy p xy p

+ ; 7) xyxy −+ + 88 ; 4) aab 88 ; 8) 106411 x x x x −+ .

824. Спростіть вираз: 1) 7 4 14 24 2 y yy ; 5) ()() ; 31 44 3 44 22 a a a a + 2) yy y y y 2 22 3 25 725 25 ; 6) xx x x x 2 22 3 2 4 2 ()() ; 3) 95 36 1012 36 91 36 p p p p p p + + + + −+ ; 7) 7 22 a b a ; 4) 75 3 511 3 x x x x + + + ; 8) 6 5 4 5 a a a a .

825. Виконайте дії: 1) 85 xy ; 3) 5 24 7 18 xyxy ; 2) 75 abb + ; 4) 58121 2 222 bb ab b ab −+− .

826. Виконайте дії: 1) x x x x + + + 2 39 4 515 ; 4) a

2) m m m m + + + 1 3 2 3 ; 5) 3 33 1 242 2 a a aa−+ ; 3) x xy y yx y xy + 22 22; 6) 2 14 2 m m.

827. Доведіть тотожність 111 0 ()()()()()() . bccaabcbacba + =

8 класу 241

828. Запишіть дріб у вигляді суми цілого виразу та дробу:

1) a a 7 ; 2) aa a 222 2 +− + ; 3) xx x 232 3 +− .

829. Відомо, що x y = 4. Знайдіть значення виразу:

1) xy x + ; 2) 34xy x + .

830. Знайдіть усі натуральні значення n, при яких є натуральним числом значення виразу: 1) 12533 2 nn n −+ ; 3) 104n n ; 2) nn n 32 2 654−+ ; 4) 123n n .

831. Виразіть змінну x через інші змінні, якщо: 1) x a b += 1; 2) 11 xa b += ; 3) a b xb a += 4 .

832. Доведіть тотожність:

2)

833.* Спростіть вираз

834.* Доведіть, що коли abc abc abc abc ++ +− −+ = , то b = 0 або c = 0.

835. Виконайте множення:

836. Виконайте множення: 1) 2 9 236 4 xyy y æ ; 2)

838. Виконайте ділення:

839. Вважаючи дані

кими

Дано:

843.

846. Для кожного значення a розв’яжіть рівняння: 1) x xa + + = 2 0; 2) xa x = 1 0.

847. Знайдіть значення виразу:

2–3 + 4–2;

848. Перетворіть

з від’ємними та нульовими показниками:

1) 3 7 8512 034 xyz abc ; 2) 1001 2 01574 3111622 , . mnp abc 849. Подайте вираз у

добутку степенів з різними основами: 1) aa 710 æ ; 7) aaa 12104 :; æ 2) aa 95 æ ; 8) (a3)–5; 3) aaa 17411 ææ ; 9) (a–12)–2; 4) a–2 : a3; 10) (a–3)4 : (a–2)5 : (a–1)–7; 5) a12 : a–4; 11) (m–3n4p7)–4; 6) a–7 : a–11; 12) (a–1b–2)–3;

13) ()(); xyxy 345233 æ

14) ab cd 117 34 3 

;

1) 11112325 æ ; 4) 10101015142 :; æ 2) 331714 æ ; 5) ()(); 141410568 æ

3) 4–16 : 4–12; 6) 33 33 1263 3442 æ æ () ()() . 851. Знайдіть

1) 25538 æ ; 4) () ; 279 813 125 47 æ æ

2) 64–3 : 32–3; 5) 155 453 46 39 æ æ ; 3) 10100000011032 :(,); æ 6) (,) . 012516 32 87 2 æ

852. Спростіть вираз: 1) 3 5 5 9 3547 xyxy æ ; 5) ()(); abab 293410 2 æ

2) 02501291010 ,; abab æ 6) ()(,); 5013222233 abcabc æ

3) 03510786 ,; abab æ 7)

(); 443233 3 1 8 abab æ 4) 237233 xxy æ(); 8)

853. Виконайте дії та подайте результат у стандартному вита подайте результат у стандартному виподайте

1) 13101810 45 ,,; ææ + 3) 56103210 32 ,,; ææ 2) 1510281022 ,,; ææ 4) 481061034 ,. ææ +

854. Функцію задано формулою y x =− 24 . Знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: –4; 8; 1,2; 2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: 24; –18; 60.

855. Побудуйте графік функції y x = 6 . Користуючись графіком, знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює: 2; –1,5; 4;

2) значення аргументу, при якому значення функції дорівнює: –2; 3; 3) значення аргументу, при яких функція набуває від’ємних значень.

856. Побудуйте графік функції y x = 5 .

857. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій y x = 4 і

ретину.

858. Знайдіть значення p, якщо відомо, що графік функції

3) C (–0,4; 1,6).

859. Побудуйте графік функції: 1) y x xx x = >−

860. Побудуйте графік функції: 1) y x xx = + + 412 23; 2) y x xx = 322 16 2 3.

2. Квадратні корені. Дійсні числа

861. Знайдіть значення виразу: 1) 04625144 1 4 ,; 2) 6402529 4 æ ,; ++ 3) 303672422 ,; −+ 4) 1 5 3 17 900289.

862. Знайдіть значення виразу: 1) 3169 2() ,; 3) 50732

2) 315153 22 ( ) ( ) ; 4) 1089216

863. Розв’яжіть рівняння: 1) x = 2; 6) 740 x −= ; 2) x = 1 4 ; 7) 740 x −= ; 3) x −=30; 8) 742 x −= ; 4) 270 x −= ; 9) 15 4 3 x + = ; 5) x +=50; 10) 435 ++= x .

864. Знайдіть значення кореня: 1) 9100 æ ; 3) 676004 æ ,; 2) 04916,; æ 4) 064025121 ,,. ææ

865. Знайдіть значення кореня: 1) 7527 æ ; 3) 16121,,; æ 2) 2800 æ ; 4) 289025 æ ,.

866. Знайдіть значення виразу: 1) 1083 æ ; 4) 0449,,; æ 2) 5213 æ ; 5) 288 2 ; 3) 160250 æ ; 6) 90 0225, .

867. Знайдіть значення виразу: 1) 1712 ,; 5) 114 ; 2) (,); 1172 6) (); 234 3) 1 2 622 ; 7) 2764 æ ; 4) 2442,(); 8) ()(,). 3201462 ææ

.

8

868. Спростіть вираз:

1) 081610,, ab якщо a l 0, b m 0;

2) 1 5 10026xx , якщо x m 0;

3) 123 5 14 10 , , x y y x якщо y > 0, x < 0;

4) 0119621816 ,,, xxy якщо x m 0.

869. Спростіть вираз:

1) 1011 2() ; 4) 3626 22() +−() ;

2) 1011 2() ; 5) 245244 22() () .

3) 1011 2() ;

870.* Спростіть вираз:

1) 1882 + ; 3) 26617661417;

2) 16672387 ++− ; 4) 461021461021 ++− .

871. Винесіть множник з-під знака кореня:

1) 24; 3) 700; 5) 1 7 98; 7) 1650,;

2) 63; 4) 032,; 6) 24600,; 8) 5 8 21 25 3.

872. Винесіть множник з-під знака кореня:

1) 102 a , якщо a l 0; 4) 362mn , якщо m < 0;

2) 152 b , якщо b m 0; 5) 465 xy , якщо x > 0;

3) xy 1112 , якщо y ≠ 0; 6) 700522 ab , якщо b < 0.

873. Внесіть множник під знак кореня:

1) 310; 3) 033,; 5) 2 7 98; 7) 0530,;

2) 213; 4) 1 5 175; 6) 57; 8) 4 a .

874. Внесіть множник під знак кореня:

1) a 5; 2) bb ; 3) xx 7 ; 4) nm , якщо n m 0.

875. Порівняйте числа:

1) 56 і 65; 3) 033 1 2 , і 03,; 2) 55 і 36; 4) 3 7 1 3 16 і 3 4 1 3 5.

876. Спростіть вираз: 1) 644121 aaa +− ; 2) 4520320 +− ; 3) 61252803180 aaa −+ .

877. Виконайте множення: 1) 80455() ; 5) 19131913() + (); 2) 2654966 +− ( ) ; 6) 4949mnmn + ( ) ( ); 3) 1210310 () + (); 7) 511 2 xy + ( ) ; 4) 257275 + ( ) ( ); 8) 311210 2 ( ) .

878. Скоротіть дріб: 1) x x 219 19 + ; 4) 2929 29 ; 2) x x 6 36 ; 5) aabb ab −+69 9 , якщо a > 0, b > 0; 3) mm m + 8 64 ; 6) 1133 333 .

879. Звільніться від ірраціональності в знаменнику дробу: 1) 7 aa ; 2) 6 3 ; 3) 3 132 ; 4) 6 2115 + .

880. Знайдіть значення виразу: 1) 5 432 5 432−+ ; 2) 526526 2 −++ ( ) ; 3) 1 4151 1 4151+++− .

881. Спростіть вираз: 1) x x x x 39 ; 2) b bc b c b bc +       :.

882.* Спростіть вираз:

1) x xx x + () −+−() + 520416 22 ;

2) aaaa ++++−++ 234234.

883.* Спростіть вираз

884.* Доведіть, що

885. Розташуйте в порядку зростання числа: 13; 165; 12,7; 171; 13,4.

886. Побудуйте в одній

yx = і y = x – 6 та визначте координати точки їхнього перетину.

887. Між якими двома послідовними цілими числами міститься на координатній прямій число:

1) 17; 2) 67; 3) 103; 4) 5125,?

888. Які цілі числа містяться на координатній прямій між числами:

1) 6 і 67; 3) 53 і –4,9; 2) 14 і 52; 4) 31 і 2,7?

889. Дано функцію fx

1) Знайдіть f (–0,5), f (0), f ( 4), f ( 9). 2) Побудуйте графік даної функції.

890. Розв’яжіть рівняння: 1) x2 – 4x – 32 = 0; 5) x2 + 6x – 15 = 0; 2) x2 – 10x + 21 = 0; 6) 3x2 – x – 5 = 0; 3) 6x2 – 5x + 1 = 0; 7) 4x2 + 28x + 49 = 0; 4) 8x2 + 2x – 3 = 0; 8) x2 – 16x + 71 = 0.

891. Розв’яжіть рівняння:

1) (x – 4) (x + 2) – 2 (3x + 1) (x – 3) = x (x + 27); 2) (4x – 3)2 + (3x – 1) (3x + 1) = 9; 3) (x + 4) (x2 + x – 13) – (x + 7) (x2 + 2x – 5) = x – 2;

4) 29 5 1 2 4 4 2 () ; xxx−+− −=

5) xxxx 22 5 3 3 2 22 8 ++− −= .

892.* Для кожного значення a розв’яжіть рівняння:

1) x2 + (5a – 1) x + 4a2 – a = 0; 2) x2 – (2a + 3) x + 6a = 0; 3) a2x2 – 10ax + 16 = 0.

893. Розв’яжіть рівняння: 1) | x2 – 2x – 6 | = 6; 3) x | x | + 2x – 15 = 0; 2) x2 – 6 | x | – 16 = 0; 4) || x2 – 6x – 4 | – 3 | = 1.

894. Розв’яжіть рівняння:

1) xx xx 268 2 2 2 2 −+=− ; 2) xxx() −−= 515720 (2); 3) ()(). xxxxx 22648480+−() −−=

895. Розв’яжіть рівняння:

1) xxxx 2234680 +−+++= ; 2) x2 – 4x + 4 + | x2 – 3x + 2 | = 0; 3) 258200 22 −++−= xxx .

896. Не обчислюючи дискримінанта, знайдіть, при якому значенні a рівняння: 1) x2 + 22x + a = 0; 2) x2 – ax + 81 = 0 має єдиний корінь. Знайдіть цей корінь.

897. При якому значенні b коренями рівняння x2 + bx – 23 = 0 є протилежні числа? Знайдіть ці корені.

898. Число 1 3 є коренем рівняння 12x2 – bx + 5 = 0.

b і

899. Число 0,2 є коренем рівняння 8x2 – 3,2x + k = 0. Знайдіть

k і другий корінь рівняння.

900. Корені x1 і x2 рівняння x2 – bx + 20 = 0 задовольняють умову x1 = 5x2. Знайдіть значення b і корені рівняння.

901. Складіть

902. Розв’яжіть рівняння: 1) xx xx 27 1 8 1

903. Розв’яжіть рівняння:

1) x x x x 2 312 4 31 50 () ; −−=

єдиний корінь?

905.* Відомо, що x1 і x2 корені рівняння x2 – (2a – 5) x + a2 – 7 = 0. При якому значенні a виконується рівність 2x1 + 2

2? 906. * При якому зна ченні a добуток кор енів рів няння x2 + (a + 9) x + a2 + 2a = 0 дорівнює 15?

907. Автобус мав проїхати 125 км. Проїхавши 13 25 шляху, він зупинився на 1 год, а потім продовжив рух зі швидкістю на 5 км/год меншою від початкової. Знайдіть початкову швидкість автобуса, якщо в пункт призначення він прибув через 3 год після виїзду.

ДРУЖИМО З КОМП’ЮТЕРОМ

У попередніх класах ви вже використовували комп’ютер під час вивчення математики. Ви навчилися:

• користуватися калькулятором для обчислень;

• набирати й оформляти нескладні тексти в текстовому редакторі (наприклад, Microsoft Word);

• складати таблиці за допомогою редактора таблиць (наприклад, Microsoft Excel);

• малювати за допомогою графічного редактора (наприклад, Paint);

• користуватися глобальною мережею «Інтернет» і шукати в ній інформацію.

Усі ці вміння ви вдосконалюватимете й надалі. Якщо в майбутньому ви плануєте отримати освіту в галузі математики, інформаційних технологій, інженерної справи, тобто широко використовувати математику у своїй діяльності, то радимо вам опанувати спеціалізовані математичні пакети, які допомагають школярам і школяркам, студентам і студенткам виконувати технічну роботу під час розв’язування задач. Це, наприклад, MathLAB, MathCAD. Також корисно опанувати графічний редактор, за допомогою якого можна працювати з геометричними фігурами та будувати креслення. Прикладами таких редакторів можуть бути CorelDraw, Visio тощо. Якщо ви маєте намір виступити з доповіддю або цікавим повідомленням, то зробити його наочнішим допоможуть

Дружимо з комп’ютером

Крім того, існує багато програм, створених спеціально для школярів та школярок і призначених для того, щоб допомогти опанувати математику. Ви зможете знайти їх на просторах інтернету.

А може, ви й самі придумаєте корисні програми для вивчення математики?

У цьому розділі наведено завдання, які ви зможете виконувати за допомогою комп’ютера в міру вивчення відповідних тем. Деякі з них продовження та розвиток вправ цього підручника (такі вправи в тексті підручника позначено значком «», а тут указано номер відповідної вправи).

Завдання, які потребують використання калькулятора, виконуйте за допомогою калькулятора або стандартної програми «калькулятор», що є на вашому комп’ютері.

Тим, хто цікавиться інформатикою, пропонуємо завдання на складання алгоритмів і програм, у яких можна використати отримані математичні знання. Ці завдання позначено зірочкою. Поки ви не опанували на потрібному рівні якунебудь мову програмування, достатньо придумати алгоритм і записати його словами або у вигляді блок-схеми. Зауважи-

мо, що вміння складати алгоритми (послідовності дій)

діяльності.

До п. 1 «Раціональні дроби»

Навчіться обчислювати значення дробового виразу за допомогою калькулятора. У яких випадках неможливо обчислити значення дробового виразу? Чи завжди можна отримати точне

значення дробового виразу?

2–4. Виконайте які-небудь із цих завдань за допомогою калькулятора або спеціалізованого математичного пакета.

До п. 2 «Основна властивість раціонального дробу»

45, 46. Виберіть який-небудь приклад із цих завдань. Знайдіть значення виразу двічі: спочатку записаного в умові виразу, потім попередньо скоротивши

Дружимо з комп’ютером

До п. 3 «Додавання і віднімання раціональних дробів з однаковими знаменниками»

69, 70. Виберіть який-небудь приклад із цих завдань. Знайдіть значення виразу двічі: спочатку записаного в умові

виразу, потім попередньо спростивши його. Обчислення виконуйте за допомогою калькулятора або спеціалізованого математичного пакета. Наскільки зменшилася кількість дій після спрощення виразу? Чи можна після спрощення виконати обчислення усно?

До п. 4 «Додавання і віднімання раціональних дробів з різними знаменниками»

130. Виконайте це завдання також за допомогою калькулятора. Чи завжди буде отримано «зручний» результат?

До п. 5 «Множення і ділення раціональних дробів. Підне сення раціонального дробу

степеня»

152, 153. Виконайте які-небудь приклади із цих завдань за допомогою калькулятора. Який висновок можна зробити про обчислення з дробами, зроблені за допомогою комп’ютера?

До п. 6 «Тотожні перетворення раціональних виразів» 182, 183. Доведіть твердження задачі 182, виконавши обчислення за допомогою калькулятора. Який шлях доведення виявився більш наочним? Чи можна за допомогою калькулятора довести твердження задачі 183?

До п. 7 «Рівносильні рівняння. Раціональні рівняння»

212. Розв’яжіть цю задачу за допомогою калькулятора. До п. 8 «Степінь із цілим від’ємним показником»

Чи існує в калькуляторі та в інших програмах, якими ви користуєтеся для обчислень, спосіб подання числа в стандартному вигляді? Опануйте цей інструмент. * Ознайомтеся з різними типами даних, які пропонує вибрана вами мова програмування для подання дробових

257. Розв’яжіть цю задачу за допомогою калькулятора. Чим ця задача схожа на задачу 211 і чим відрізняється від неї? Які спільні елементи розв’язування ви використовували для обох задач? * Побудуйте спільний алгоритм для розв’язування задач 211 і 257. Передбачте можливість використання цього алгоритму для довільної кількості років.

До п. 9 «Властивості степеня із цілим показником»

267. Обчисліть значення якого-небудь виразу з прикладів 5–8 цього завдання, виконуючи дії за допомогою калькулятора в тому порядку, у якому їх записано в прикладі (без попереднього спрощення). Чи отримали ви той самий результат, що й під час розв’язування прикладу на папері? Чому результати можуть відрізнятися? Який висновок із цього можна зробити?

286, 287. Яким чином використання стандартного вигляду числа спрощує обчислення?

* Дізнайтеся, яким чином у пам’яті комп’ютера подаються дані у форматі «з плаваючою крапкою»; за якими алгоритмами виконуються дії з такими числами; як цей спосіб подання даних впливає на точність обчислень.

300. Побудуйте шукану таблицю за допомогою табличного редактора. Зробіть так, щоб значення функції обчислювались автоматично.

До п. 10 «Функція y k x = та її графік»

308, 309. Заповніть шукану таблицю за допомогою табличного редактора. Побудуйте за допомогою засобів графічного редактора графік функції, яка є математичною моделлю задачі. Як треба вдосконалити таблицю, щоб отримати точніший графік?

До п. 11 «Функція y = x2 та її графік» 350–353. Виберіть яку-небудь

Дружимо з комп’ютером 256

задані точки сполучаються відрізками. Який графік точніше зображає задану функцію? Як треба врахувати особливості цієї функції під час вибору множини значень аргументу для таблиці?

До п. 12 «Квадратні корені. Арифметичний квадратний корінь»

Навчіться доб увати ква дратний кор інь за доп омогою калькулятора та інших програм, якими ви користуєтеся для обчислень.

389. Виконайте завдання двома способами: 1) спростивши вираз на папері; 2) обчисливши його значення за допомогою калькулятора без попереднього спрощення. Зробіть висновки.

* 415. Запишіть алгоритм для розв’язування цієї

методом перебору.

До п. 13 «Множина та її елементи. Підмножина»

Знайдіть за допомогою інтернету які-небудь цікаві факти та опишіть їх, використовуючи слова «множина», «елемент множини», «підмножина», «порожня множина». Задайте яку-небудь із розглянутих множин переліком елементів і заданням характеристичної властивості.

До п. 14 «Числові множини»

Для кожної із числових множин уведіть у калькуляторі кілька елементів цієї множини. Чи будь-яке раціональне число ви можете ввести з усіма його цифрами? Чи можна ввести ірраціональне число? Наскільки точно подає калькулятор ці числа? Зробіть висновок.

Як у калькуляторі можна задати число p?

Придумайте вираз, у якому змінні будуть раціональними числами, які можна задати точно, а результатом буде дійсне або ірраціональне число, яке калькулятор відображає наближено.

Дружимо з комп’ютером

До п. 15 «Властивості арифметичного

реня»

481(6), 497. Виконайте обчислення за допомогою калькулятора, не спрощуючи попередньо вираз. Який спосіб розв’язування виявився простішим на папері або за допомогою калькулятора?

До п. 16 «Тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені»

Обчисліть значення кількох виразів, наведених у задачах 515, 516, 529, за допомогою калькулятора без попереднього спрощення виразів. Чи буде отримано точний результат?

До п. 17 «Функція yx = та її графік»

За допомогою табличного редактора побудуйте таблицю, яка містить набір значень аргументів і відповідних їм значень функції yx = . Побудуйте графік

цією таблицею.

До п. 18 «Квадратні рівняння. Розв’язування неповних квадратних рівнянь»

* Запишіть алгоритм для розв’язування неповних квадратних рівнянь залежно від їхнього виду.

До п. 19 «Формула коренів квадратного рівняння»

* Запишіть алгоритм, який за коефіцієнтами a, b і c рівняння ax2 + bx + c = 0 знаходить його корені. Які окремі випадки потрібно розглянути?

* 654, 655. Запишіть алгоритми для розв’язування цих задач методом перебору. Яка інформація в умовах цих задач дозволяє зробити висновки, що тут, на відміну від задач 662 і 663, можна застосувати метод перебору?

До п. 20 «Теорема Вієта» Придумайте два числа, десятковий запис кожного з яких містить кілька цифр до та після коми. Використовуючи наслідок з теореми, оберненої до теореми Вієта, складіть квадратне рівняння, для якого дані числа є коренями. Для обчислень використайте калькулятор.

До п. 21 «Квадратний тричлен»

* Запишіть алгоритм для розкладання квадратного тричлена на лінійні множники.

Дружимо з комп’ютером

* 757. Створіть математичну модель для розв’язування цієї задачі в загальному вигляді.

* 760. Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору.

До п. 22 «Розв’язування рівнянь, які зводяться до ква дратних рівнянь»

* Запишіть алгоритм для розв’язування біквадратних рівнянь. Можна використати як підпрограму алгоритм, який ви уклали для розв’язування квадратних рівнянь (див. завдання до п. 19).

* 787. Запишіть алгоритм для розв’язування цієї задачі методом перебору. Протягом навчального року в рубриці

п’ютером» вам бул о зап ропоновано баг ато зав дань для розв’язування методом перебору. Проаналізуйте

має назву «brute force».

реальних ситуацій» * Чи можна для різних задач цього пункту створити одну й ту саму математичну модель? Спробуйте знайти такі задачі та скласти спільний алгоритм для їхнього розв’язування.

Ця рубрика адресована передусім тим, хто бажає навчитися самостійно здобувати знання, творчо мислити, формувати, висловлювати та відстоювати свою точку зору, висувати гіпотези, знаходити найбільш раціональні та нестандартні рішення.

Першим кроком, який може допомогти в досягненні цих цілей, є участь у проєктній роботі.

Проєкт — це самостійне дослідження за вибраною темою, яке можна виконувати як індивідуально, так і в групі.

Дамо кілька порад щодо організації роботи над проєктом та оформлення результатів дослідження.

1. Під час вибору теми потрібно враховувати її актуальність, наявність джерел інформації в літературі та інтернетресурсах. При цьому дуже важливе ваше бажання проявити себе дослідником у роботі саме над вибраною темою.

2. Роботу починають зі складання попереднього плану, у якому викладають задум та етапи реалізації задуманого. Після ознайомлення з основними джерелами інформації складають остаточний план за допомогою керівника проєкту.

3. Важливо чітко сформулювати цілі дослідження. Їх можна записати, наприклад, у такий спосіб: вивчити, описати, проаналізувати, довести, порівняти тощо.

4. Роботу завершують підбиттям підсумків дослідження, роблять висновки, накреслюють перспективи подальшого вивчення теми.

5. Приблизний обсяг роботи 10–15 сторінок. Додатково можна навести ілюстративний матеріал.

6. Робота може бути оформлена у вигляді реферату, доповіді, комп’ютерної презентації. Виконання проєктної роботи в

корисне. Ви навчитеся працювати в команді, слухати інших, розв’язувати конфлікти

Проєктна робота

Рекомендації щодо виконання проєкту в групах

1. Розподіліть між собою ролі. Кожні з вас повинні мати чітко визначену роль у проєкті (наприклад, дослідниця, організатор, презентерка тощо). Це допомагає уникнути хаосу та забезпечує рівну участь усіх членів групи.

2. Створіть графік виконання завдань, щоб уникнути затягування термінів. Визначте етапи роботи та дедлайни для кожного.

3. Налагодьте регулярну комунікацію між учасниками та учасницями групи. Використовуйте онлайн-платформи (наприклад, Google Docs, Zoom) для обговорення ідей та обміну матеріалами.

4. Усі учасники й учасниці групи повинні розуміти мету проєкту та прагнути до її досягнення. Це допомагає зберегти мотивацію.

5. Після завершення проєкту обговоріть, що вдалося, а що можна покращити. Це

досвіді.

Нижче наведено рекомендований список тем, які можна вибрати для проєктної роботи.

1. Математичні моделі бюджету родини

2. Історія участі команди України в Європейських математичних олімпіадах серед дівчат (EGMO)

3. Графіки як математична модель життєвих процесів

4. Математика і лінгвістика

5. Застосування математики в дослідженні демографічних процесів

6. Елементи фінансової

48. 0,3. 49. 5. 51. 1 32 . 52. Ні. Вказівка. Подайте даний

дріб у вигляді () . a a + 1 1 2 2 56. 1) Якщо a = 0, то коренів немає;

якщо a ≠ 0, то x a = 1 ; 2) якщо a = 0, то x будь-яке число;

якщо a ≠ 0, то x = 1; 3) якщо a = 6, то x будь-яке число; якщо a ≠ 6, то x = a – 6; 4) якщо a = –2, то коренів немає; якщо a = 2, то x будь-яке число; якщо a ≠ –2 і a ≠ 2, то x a = + 1 2 . 57. 1) Якщо a = –3, то коренів немає; якщо a ≠ –3,

то x a = + 3 3 ; 2) якщо a = 0, то коренів немає; якщо a = 9, то x будь-яке чис ло; якщ о a ≠ 0 і a ≠ 9, то x a a = 9 . 58. 13 552 грн. 61. –4 при a = 2b. 71. 1) 1 2 ; 2) 1 1 k . 72. 1) 3 4 ; 2) 3 2 m + . 73. 1) 1 1 a ; 2) 3 2 b ; 3) m n 5 . 74. 1) 1 72() ; x 2) y y + + 6 2 . 80. 2) 5; 3) 4 1 4 . 81. 2) –3; 3) –4,5. 82. 1) 1; 2; 3; 6; 2) 1; 2; 7; 14; 3) 1; 2; 8. 83. 1) 1; 3; 9; 2) 1; 2; 4; 8; 3) 2. 84. 5 медалей. 85. 1) –2; 2) коренів немає. 105. 6) 5 5 p ; 7) 16 163 yy ; 8) 21 126 b b + . 106. 5) 1 x ; 6) 8 2 y + . 109. 2) 4. 110. 1) 1 6 ; 2) 0,1. 111. 1) 1,2; 2) 7 17 . 113. 2) 3 239bb−+ . 114. 1) 2 9 3 22 n mn ; 2) 22 81 3 + b b . 116. 1) + ab ab ; 2) 1 2x ; 3) 100 25 2 222 b ab () ; 4) 1 2 y . 120. 3 14 ()() . aa

.

1 12 1 2 1 ()()1 . aaaa =−

152. 1) –5; 2) 0,9; 3) –5. 153. 1) 40 21 ; 2) 4 11 . 154. 83. 155. 10. 156. 7 або –7. 157. 2 або –2. 163. 50 л, 30 л. 167. 1) 3 1 a ; 2) 2 3 b ; 3) 12 31 c ; 4) 1 2 ab ; 5) 2 5 a + ; 6) x x + 3 3 . 168. 1) 2 3 b ; 2) –1; 3) x + y; 4) a a + 2 2 . 169. 1) x x + 8 8 ; 2) a a 4 2 ; 3) 1 b ; 4) a a 1 ; 5) 2; 6) a – 2. 170. 1) 7 7 + x x ; 2) c – 5; 3) –2; 4) y + 2 6 . 173. 1) Не залежить; 2) залежить. 175. 1) 1 a ; 2) a – 3;

3) a + 1; 4) ab a + . 176. 1) ab b 22 2 + ; 2) –a. 179. 1) a b 2 2; 2) 1. 180. 1082,4 грн. 181. На 9,4 %. 183. Вказівка. Подайте даний вираз у вигляді 10352 ææ nn . 184. 480 кг. 185. 1500 грн, 2100 грн. 186. 2 год. 187. 9 горобців, 10 голубів, 11 горлиць. 196. 2) Коренів немає; 3) –2; 4) x будь-яке число, крім 2; 5) x будь-яке чис ло; 6) 3; 7) 0,5 ; 8) кор енів нем ає; 9) 1 3 ; 10) 17; 11) 12; 12) 13 4 ; 13) –4; 4; 14) 0. 197. 1) –1; 2) коренів немає; 3) 10; 4) коренів немає; 5) x будь-яке число, крім 0; 6) 6; 7) x будь-яке число, крім –0,5; 8) –3; 3. 198. 7. 199. 10. 201. 1) 13 4 ; 2) коренів немає; 3) 7; 4) 0; –2;

5) коренів немає; 6) 0. 202. 1) –0,5; 2) –4; 4; 3) коренів немає; 4) –5. 203. 2 км/год. 204. 29 км/год. 205. 9 км/год. 206. 1) Коренів немає; 2) 0. 207. 1) 0,6; 2) 0. 208. 1) Якщо a ≠ 1, то x = 1; якщо a = 1, то коренів немає; 2) якщо a ≠ –5, то x = a; якщо a = –5, то коренів немає; 3) якщо a = 0, то x будь-яке число, крім 3; якщо a ≠ 0 і a ≠ 3, то x = a; якщо a = 3, то коренів немає; 4) якщо a ≠ 7, то x = a або x = 6; якщо a = 7, то x = 6; 5) якщо a ≠ 4 і a ≠ –2, то x = 4 або x = –2; якщо a = 4, то x = –2; якщо a = –2, то x = 4; 6) якщо a ≠ 4 і a ≠ –2, то x = a; якщо a = 4 або a = –2, то коренів немає. 209. a = 2 або a = –2. 210. a = –9, або a = –3, або a = 0. 212. 70 000 мешканців і мешканок.

240. 2) 2,7. 241. 2) 947 125 . 249. 5. 250. 6. 256. 31 болванка. 257. 80 000 мешканців і мешканок. 258. 2 км.

271. 6) 1 6 ; 7) 4 9 ; 8) 4 7 . 272. 5) 16; 6) 144. 282. 1) –3; 2) –5; 3) –2; 4) –7; 5) 0; 6) 2. 283. 1) 4; 2) 1; 3) –1; 4) 6. 284. 81011 æ см2. 288. 8 хв. 289. 5,34 кг. 290. У 81 раз.

291. 1) 1 ab + ; 2) –4b2; 3) 15c3 + 5; 4) 1 m 4. 292. 1) 2 31 2 2 a a ; 2) 16 2 b . 293. 1) –1 або 0; 2) 3 або 4; 3) 4 або 5; 4) 2 або 3.

294. 1) 6 або 7; 2) 4 або 5; 3) 4 або 5; 4) 4 або 5. 296. 12 км/год. 297. 5 год 45 хв.

324. 1) 2; 2) –1; 3; 3) коренів немає. 325. 1) 2; 4; 2) –1; 1; 3) коренів немає. 333. 1) a = 2 або a m 0; 2) a = 6 або a < 3. 335. 1) При k = 2,25; 2) такого значення k не існує. 337. На 31,6 %. 338. Зменшилася на 9 %. 340. Коренів немає. 341. 36 монет, 24 монети.

346. 1) Коренів немає; 2) –1; 3; 3) 2. 347. 1) –3; –1; 2) коренів немає; 3) –1. 350. 3) 0 < a < 4. 351. 3) a = 0 або a = 1. 352. 3) 01 mm a . 353. 3) 16 mm a . 362. 4.

388. 1) –10; 2) 25; 3) –23,8; 4) 13; 5) 216. 389. 1) 13,4; 2) 21. 391. 2) x m 0; 3) x будь-яке число; 4) x = 0; 5) x l 8; 6) x m 8; 9) x будь-яке число, відмінне від 8; 10) x l 0 і x ≠ 9; 11) x l 0; 12) x = 0; 13) такого значення x не існує; 14) x будь-яке число; 15) x = 0; 16) x будь-яке число, відмінне від 0. 392. 2) y m 0; 3) y l 0; 4) y m 0; 5) y = 0; 6) y > 0; 7) y l 0 і y ≠ 1. 393. 6) –10; 10. 394. 4) –7; 7. 397. 1) 167; 2) 2116; 3) коренів немає. 398. 1) 4900; 2) коренів немає. 399. 1) Якщо a ≠ 0 і b ≠ 0, то a і b числа одного

знака; якщо a = 0, то b будь-яке число; якщо b = 0, то a

будь-яке число; 3) якщо b ≠ 0, то a l 0; якщо b = 0, то a

будь-яке число; 5) якщо a ≠ 0, то b m 0; якщо a = 0, то b

будь-яке число. 400. 2) Вказівка. x2 – 4x + 5 = (x – 2)2 + 1.

401. Вказівка . – x 2 + 6 x – 12 = – ( x – 3)2 – 3. 402. Вираз 2.

403. 1) 0; 2) коренів немає; 3) 1; 4) –2; 5) –1; 1; 6) 1. 404. 1) 0; 2) коренів немає; 3) 1; 4) 3. 405. 1) a > –1; 2) a = –1; 3) a < –1.

408. 1) Якщо a = 0, то x l 1; якщо a ≠ 0, то x = 1; 2) якщо a = 1, то x будь-яке число; якщо a ≠ 1, то x = 0; 3) якщо a = 0, то x l 1; якщо a ≠ 0, то x = 2; 4) якщо a < 0, то коренів

немає; якщо a l 0, то x = a 2 + 2. 409. a < 0 або a = 1.

410. 44 160 грн. 412. 13. 413. a a + 10 5 . 414. 27 купюр по 100 грн, 4 купюри по 500 грн.

422. 2) {–2, 2}; 4) ∅. 423. 4) {5}. 433. 32 000 грн, 7360 грн. 434. 96 дерев. 435. 1) 515 b b + ; 2) 3 1 b . 436. 1,4 км/год.

455. Вказівка. Нехай m n і p q дані раціональні числа.

їхня сума дорівнює mqnp nq + , тобто є числом виду s t , де s ∈ , t ∈ . 456. Вказівка. Якщо припустити, що дана сума є раціональним числом, то із цього випливає, що дане ірраціональне число можна

раціональних чисел. 457. 1) Ні, наприклад, 330 +−() = ; 2) ні, наприклад, 3333 2 æ = () = ; 3) ні, наприклад, 300 æ = . 459. У третьому під’їзді на шостому поверсі. 460. b a 2 . 461. 120 га.

491. 1) Ні при якому значенні x; 2) 3; 3) –1; 3. 492. 1) –4; 2) 2. 495. 12 пляшок. 497. –4.

525. 1) 62; 2) 112; 3) 103; 4) 95a ; 5) aab ; 6) 0. 526. 1) 63; 2) 67b ; 3) 103aa . 528. 1) 163 + ; 2) 1055; 3) 1; 4) 1; 5) 4. 529. 1) 1042; 2) 74; 3) 4; 4) 32. 536. 1) a 2; 2) 6 2 mm ; 3) 4 xy ; 4) 4 16 a a ; 5) ab b + ; 6) ab 2 . 537. 1) 4 aa + ; 2) 1 ab ; 3) 3 y ; 4) 3 5 c c + . 538. 1) mm 4 ; 2) abb 26 ; 3) 23xy ; 4) mnmn 33 ; 5) 35 7 xyx ; 6) 84abb ; 7) 112 59 mbm ; 8) mnpp 7 . 539. 1) mm 9 ; 2) aba 1112 ; 3) 7ab ; 4) abab 44 ; 5) 33 717 xyx ; 6) 52 333 mnpp . 540. 2) Оскільки з умови випливає, що b m 0, то bbb −=−− 3 ; 3) c 7 ; 5) xy 35 ; 8) ab33 . 541. 2) 542 n ; 3) p 5 ; 6) 59ab . 542. 1) a 1;

2) a ab ; 3) x ; 4) 22 9 a . 543. 1) n m ; 2) x . 544. 1) 21 + ; 2) 32 + ; 3) 65 + . 545. 1) 71 + ; 2) 63 + ; 3) 52 + . 546. 9. 549. 1) 42 + ; 2) 331 + . 551. 37,5 %. 552. 180 деталей. 553. 18 %. 554. 9. 567. 17. 568. 6. 575. 1) 0; 1; 2) 0; 1; 3) коренів немає; 4) 1; 5) 4; 6) 1. 577. 4) 523. 578. 2) 2. 579. 0. Вказівка.

Ліва частина цього рівняння набуває тільки невід’ємних значень, а права тільки недодатних. 584. 1) 71; 2) 32; 3) 33; 4) 62. 585. 1) 52; 2) 52; 3) 523. 586. Якщо a l 0, то один корінь; якщо a < 0, то коренів немає. 587. 21 a + при a > 1; 3 при 01 mm a . 588. 12 при a > 36; 2 a при 036 mm a . 589. Олена. 590. У магазині «Модний одяг». 591. 63 кг. 592. 3 км/год. 593. 1 год 12 хв.

612. 1) 0; 14; 2) коренів немає. 613. 1) 0; 4 3 ; 2) 22;22. 618. 6; 7. 619. 9; 10. 620. –1; 0 або 0; 1. 621. –3; –2 або 3; 4. 622. 1) 4; 2) 0; –8; 3) –9; 9. 623. 1) –5; 2) такого значення m не існує. 628. 1) 0; –3; 3; 2) 0; 1; 3) 1; 4) –2; 2. 629. 1) 0; 7; –7; 2) 0; 5; –7; 3) –1, 5; 1,5 . 630. 1) 2; 2) 3; 3) 0,5 ; –2; 4) такого значення не існує. 631. 1) a = 4, x2 = –4; 2) a = 0, x2 = 2 або a = –1, x2 9 4 = ; 3) a = 3, x2 = –2. 632. 1200 грн.

633. 378 грн.

643. 1) 1; 7 6 ; 2) 1; 9; 3) 321 2 ± . 644. 1) 2; 7 3 ; 2) –3; 1 7 .

645. 1) 4; –3,5; 2) 1; 1 25 ; 3) 2; 4 3 ; 4) −±315. 646. 1) 3; 9; 2) −±214 2 . 647. 7. 648. 38 см. 649. 6 і 14 або –14 і –6.

650. 1) 5;35 2 ; 2) –1; 6; 3) 6; 2 3 ; 4) –1; 31 22 .

651. 1) 2,22; 2) 2; 3; 3) 1; 3 8 . 652. –20; 4. 653. 1; 4 3 .

654. 10; 11. 655. 13; 14. 656. 8 см. 657. 6 см або 12 см. 658. 16 см, 30 см. 659. 9 см, 40 см. 661. 16 мавп або 48 мавп. 662. 9; 11; 13. 663. 4; 6; 8; 10. 664. 9 команд. 665. 15 сторін.

666. 1) –8; –7; 0; 1; 2) –1; 1; 0,6; –0,6; 3) −+314; 4) –2; 2; 5) 3; 5; –3; –5; 6) 2; –2. 667. 1) –12; 2; –2; –8; 2) 3; 3) 15; −±734; 4) 9; –9. 668. 1) –10; 2) 3. 669. 1) 1 6 ; 2) 3.

670. 1) b = –2; 2) b = –12 або b = 12. 671. 1) b = 13,5; 2) b = –8 або b = 8. 675. 1) x = –2a – 1 або x = –a; 2) x = 2a або x = 4; 3) якщо a ≠ 0, то x a = 25 або x a =− 1 , якщо a = 0, то коренів

немає; 4) якщо a = 1 2 , то x = 1 3 , якщо a ≠ 1 2 , то x = 1 3 або x a = 1 21 . 676. 1) x = 3a – 5 або x = –a; 2) x = –3a або x = 4; 3) якщо a = 0, то x = 1; якщо a ≠ 0, то x = 1 або x a = 1 . 677. 1) b = 0 або b =− 9 7 ; 2) b = –5, або b = 26 , або b =−26;

3) b = 19. 678. 1) b = 0, або b = –0,5, або b = 0,5; 2) b = –3 або b = –5. 679. 17 вагонів. 680. 14 аркушів. 682. ab a . 683. 4, 17,32. 684. 90 деталей. 685. 45 т, 75 т. 699. x2 = 10, q = –20. 700. x2 = –6, p = –1. 701. x2 = 2, b = 14. 702. x2 = 1,6, m = –1,28. 703. –20,5. 704. –7. 705. 1717;. 709. x1 = 1, x2 = 9, c = 9. 710. x1 = –14, x2 = –6, a = 84. 711. x1 = 9, x2 = –2 , m = –18. 712. x1 = 1, x2 = –5, n = –5. 715. 1) 1,5; 2) 69. Вказівка. xxxxxx 1 2 2 2 12 2 212 +=+−(); 3) 57; 4) 567. 716. 1) 80; 2) 57 16 ; 3) 89. Вказівка. xxxx 2121 2 −=−(). 717. x2 + 12x + + 17 = 0. 718. x2 – 18x + 49 = 0. 719. 6x2 – 14x + 3 = 0. 720. x2 –– 15x + 8 = 0. 721. a = 2 або a = –2. 722. a = 6 або a = –6. 724. 1) 7; –7; 5; –5; 2) –11; 11; –1; 1; –4; 4. 725. 1) –9; 9; –6; 6; 2) –17; 17; –7; 7; –3; 3. 726. b = c = 0 або b = 1, c = –2. 727. 1) a = 2; 2) такого значення a не існує. 728. a = 2. 729. 150. 730. На 25 %. 733. 4 ряди по 12 дерев. 742. 1) 23 6 a a ; 2) b b 3 21 ; 3) c c + 1 2 ; 4) mm m 21 10 ++ + ; 5) + + x x 4 8 ; 6) 14 51 + n n . 743. 1) 43 1 x x ; 2) a a + 1 5 ; 3) 3 1 b b . 744. 1) –3; 2) –2; 3) 4 3 . 745. 1) –4; 2) –14. 746. 1) 1; 2) 21 2 b b + ; 3) 4 c . 750. 1) (x – y) ×

× ( x – 5 y ); 2) ( a + 9 b ) ( a – 4 b ); 3) (3 m + n ) ( m – 3 n ); 4) (4x – y) (x – y). 751. 1) (a – 4b) (a – 10b); 2) (3b – 2c) (4b + 3c). 752. 1) Якщо a = 3, то x будь-яке число; якщо a = –2, то

коренів немає; якщо a ≠ 3 і a ≠ –2, то x a a = + + 3 2 ; 2) якщо a = 7,

то x будь-яке число; якщо a = 1, то коренів немає; якщо a ≠ 7 і a ≠ 1, то x a a = + 21 1 . 753. Якщо a = –8, то x будь-яке

число; якщо a = 1, то коренів немає; якщо a ≠ –8 і a ≠ 1, то x a a = + 8 1 . 755. 215 кілобайти. 757. 6,8 %. 759. 1) Коренів не-

має; 2) –4; 3) 3; 4) y будь-яке дійсне число, відмінне від –4 і від 5. 763. 1) –4; 1; 2) –1; 3) 2 3 ; 4) –2; 10; 5) 7; 6) –6; 7) –5; 10; 8) 5. 764. 1) –1; 2) –0,25; 3) 8; 4) –3. 769. 1) 6; 2) 5; 3) 7; 4) 6. 770. 1) 10; 2) –7. 771. 1) 318 ± ; 2) –23; 1; 3) –27; –1; 4) 3. 772. 1) 4; 9; 2) 5. 773. 1) –2; 9; 2) 4; –0,4; 3) –1; 18; 4) –2; 5) –3; 6) 2; 7) 9; 8) 1. 774. 1) –3; 12; 2) –3; 13; 3) –60; 50; 4) –3; 5) –9; 24; 6) –20; 2. 775. 1) 2 3 ; 14; 2) –56; 60. 776. 1) –15; 12; 2) –20; 2. 777. 1) –5; 2) коренів немає. 778. 1) –15; 1; 2) 1,5. 779. 1) 3;3; –3; 3; 2) –6; –4; –1; 1; 3) 0; 3; 4) –1; –3; 1. 780. 1) 1 3 ; 1; 2) 0,5. 781. 1) –1; 7; 2; 4; 2) –6; –2; −±420; 3) –2; 1; 4) 5 3 ; 10. 782. 1) Якщо a = 1,

то x = 7; якщо a = 7, то x = 1; якщо a ≠ 1 і a ≠ 7, то x = 1 або x = 7; 2) якщо a ≠ 1 і a ≠ 7, то x = a; якщо a = 1 або a = 7, то

коренів немає; 3) якщо a ≠ 2, то x = 3a або x = 2; якщо a = 2, то x = 2; 4) якщо a = 0, то x будь-яке число, відмінне від –3; якщо a = –3, то коренів немає; якщо a ≠ 0 і a ≠ –3, то x = a. 783. a = 25, або a =−25, або a = 6. 785. 1) a = 0 або a > 4; 2) a = 4; 3) 0 < a < 4. 788. 50 км/год, 60 км/год. 789. 75 км/год. 790. 80 км/год, 60 км/год. 791. 12 сторінок. 792. 30 м3, 25 м3. 793. 6 днів. 794. 31 км/год. 795. 10 км/год. 796. 3 км/год. 797. 32 км/год. 798. 45 днів, 36 днів. 799. 15 год, 10 год. 800. 21 год, 24 год. 801. 80 г. 802. 30 кг. 803. 3 км/год. 804. 5 год. 805. 4 год,

6 год, 12 год. 806. 80 км/год. 807. 24 деталі. 808. 12 год. 810. 6.

824. 3) 8 3 . 830. 4) 1, 2, 3. 833. 4 12 aa() . + 834. Вказівка.

883. 42 3 . 905. a = 1. 906. a = 3.

2

3

В

ершина параболи 107

Винесення множника з-під

знака кореня 152

Вирази дробові 6

раціональні 6

цілі 6

Вітка гіперболи 91

параболи 107

Властивості арифметичного

квадратного кореня 143

степеня із цілим показни-

ком 80

Внесення множника під

знак кореня 152

Гіпербола 91

Графічний метод

розв’язування рівнянь 94

Дискримінант квадратного

рівняння 187

тричлена 208

Допустимі значення змін-

них 7

Дріб

нескінченний неперіо-

дичний десятковий 134

періодичний десятко-

вий 133

раціональний 7

Елемент множини 126

Корінь квадратний 112

арифметичний 113

квадратного тричлена 208

Метод заміни змінної 215

Множина 126

дійсних чисел 135

натуральних чисел 132

порожня 128

раціональних чисел 132

цілих чисел 132

Обернена пропорційність 89

Основна властивість раціо-

нального дробу 12

Парабола 107

Період дробу 133

Підкореневий вираз 113

Підмножина 128

Порядок числа 72

Радикал 113

Рівні множини 126

Рівняння біквадратне 215

квадратне 179

зведене 179

неповне 179

лінійне 178

першого степеня 178 раціональне 61

рівносильні 61

Стандартний вигляд числа 72

Степінь з нульовим показником 71

із цілим від’ємним показником 71

Теорема Вієта 197

—, обернена до теореми Вієта 197

Тотожність 12

Тотожно рівні вирази 12

Тричлен квадратний 208

Формула коренів квадратного рівняння 188

Числа дійсні 135 ірраціональні 134

натуральні 132

раціональні 132

цілі 132